0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 671 108;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 671 108 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 342 216;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 342 216 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 684 432;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 684 432 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 368 864;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 368 864 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 737 728;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 737 728 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 475 456;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 475 456 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 950 912;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 950 912 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 901 824;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 901 824 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 803 648;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 803 648 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 607 296;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 607 296 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 231 214 592;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 231 214 592 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 462 429 184;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 462 429 184 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 924 858 368;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 924 858 368 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 849 716 736;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 849 716 736 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 699 433 472;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 699 433 472 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 398 866 944;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 398 866 944 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 797 733 888;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 797 733 888 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 595 467 776;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 595 467 776 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 043 190 935 552;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 043 190 935 552 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 086 381 871 104;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 086 381 871 104 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 172 763 742 208;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 172 763 742 208 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 345 527 484 416;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 345 527 484 416 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 691 054 968 832;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 691 054 968 832 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 382 109 937 664;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 382 109 937 664 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 764 219 875 328;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 764 219 875 328 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 528 439 750 656;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 528 439 750 656 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 056 879 501 312;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 056 879 501 312 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 113 759 002 624;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 113 759 002 624 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 227 518 005 248;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 227 518 005 248 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 455 036 010 496;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 455 036 010 496 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 910 072 020 992;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 910 072 020 992 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 089 820 144 041 984;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 089 820 144 041 984 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 179 640 288 083 968;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 179 640 288 083 968 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 359 280 576 167 936;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 359 280 576 167 936 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 718 561 152 335 872;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 718 561 152 335 872 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 437 122 304 671 744;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 437 122 304 671 744 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 874 244 609 343 488;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 874 244 609 343 488 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 748 489 218 686 976;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 748 489 218 686 976 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 496 978 437 373 952;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 496 978 437 373 952 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 993 956 874 747 904;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 993 956 874 747 904 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 987 913 749 495 808;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 987 913 749 495 808 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 587 975 827 498 991 616;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 587 975 827 498 991 616 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 175 951 654 997 983 232;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 175 951 654 997 983 232 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 351 903 309 995 966 464;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 351 903 309 995 966 464 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 703 806 619 991 932 928;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 703 806 619 991 932 928 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 407 613 239 983 865 856;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 407 613 239 983 865 856 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 815 226 479 967 731 712;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 815 226 479 967 731 712 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 630 452 959 935 463 424;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 630 452 959 935 463 424 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 260 905 919 870 926 848;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 260 905 919 870 926 848 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 521 811 839 741 853 696;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 521 811 839 741 853 696 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 245 043 623 679 483 707 392;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 245 043 623 679 483 707 392 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 490 087 247 358 967 414 784;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 490 087 247 358 967 414 784 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 980 174 494 717 934 829 568;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 980 174 494 717 934 829 568 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 960 348 989 435 869 659 136;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 960 348 989 435 869 659 136 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 920 697 978 871 739 318 272;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 920 697 978 871 739 318 272 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 841 395 957 743 478 636 544;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 841 395 957 743 478 636 544 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 682 791 915 486 957 273 088;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 682 791 915 486 957 273 088 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 365 583 830 973 914 546 176;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 365 583 830 973 914 546 176 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 731 167 661 947 829 092 352;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 731 167 661 947 829 092 352 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 462 335 323 895 658 184 704;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 462 335 323 895 658 184 704 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 924 670 647 791 316 369 408;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 924 670 647 791 316 369 408 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 501 849 341 295 582 632 738 816;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 501 849 341 295 582 632 738 816 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 003 698 682 591 165 265 477 632;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 003 698 682 591 165 265 477 632 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 007 397 365 182 330 530 955 264;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 007 397 365 182 330 530 955 264 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 014 794 730 364 661 061 910 528;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 014 794 730 364 661 061 910 528 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 029 589 460 729 322 123 821 056;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 029 589 460 729 322 123 821 056 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 059 178 921 458 644 247 642 112;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 059 178 921 458 644 247 642 112 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 118 357 842 917 288 495 284 224;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 118 357 842 917 288 495 284 224 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 236 715 685 834 576 990 568 448;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 236 715 685 834 576 990 568 448 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 473 431 371 669 153 981 136 896;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 473 431 371 669 153 981 136 896 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 946 862 743 338 307 962 273 792;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 946 862 743 338 307 962 273 792 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 125 000 000 001 893 725 486 676 615 924 547 584;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 125 000 000 001 893 725 486 676 615 924 547 584 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 250 000 000 003 787 450 973 353 231 849 095 168;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 250 000 000 003 787 450 973 353 231 849 095 168 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 500 000 000 007 574 901 946 706 463 698 190 336;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 500 000 000 007 574 901 946 706 463 698 190 336 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 625 000 000 000 015 149 803 893 412 927 396 380 672;
  • 76) 0,849 273 681 640 625 000 000 000 015 149 803 893 412 927 396 380 672 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 250 000 000 000 030 299 607 786 825 854 792 761 344;
  • 77) 0,698 547 363 281 250 000 000 000 030 299 607 786 825 854 792 761 344 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 500 000 000 000 060 599 215 573 651 709 585 522 688;
  • 78) 0,397 094 726 562 500 000 000 000 060 599 215 573 651 709 585 522 688 × 2 = 0 + 0,794 189 453 125 000 000 000 000 121 198 431 147 303 419 171 045 376;
  • 79) 0,794 189 453 125 000 000 000 000 121 198 431 147 303 419 171 045 376 × 2 = 1 + 0,588 378 906 250 000 000 000 000 242 396 862 294 606 838 342 090 752;
  • 80) 0,588 378 906 250 000 000 000 000 242 396 862 294 606 838 342 090 752 × 2 = 1 + 0,176 757 812 500 000 000 000 000 484 793 724 589 213 676 684 181 504;
  • 81) 0,176 757 812 500 000 000 000 000 484 793 724 589 213 676 684 181 504 × 2 = 0 + 0,353 515 625 000 000 000 000 000 969 587 449 178 427 353 368 363 008;
  • 82) 0,353 515 625 000 000 000 000 000 969 587 449 178 427 353 368 363 008 × 2 = 0 + 0,707 031 250 000 000 000 000 001 939 174 898 356 854 706 736 726 016;
  • 83) 0,707 031 250 000 000 000 000 001 939 174 898 356 854 706 736 726 016 × 2 = 1 + 0,414 062 500 000 000 000 000 003 878 349 796 713 709 413 473 452 032;
  • 84) 0,414 062 500 000 000 000 000 003 878 349 796 713 709 413 473 452 032 × 2 = 0 + 0,828 125 000 000 000 000 000 007 756 699 593 427 418 826 946 904 064;
  • 85) 0,828 125 000 000 000 000 000 007 756 699 593 427 418 826 946 904 064 × 2 = 1 + 0,656 250 000 000 000 000 000 015 513 399 186 854 837 653 893 808 128;
  • 86) 0,656 250 000 000 000 000 000 015 513 399 186 854 837 653 893 808 128 × 2 = 1 + 0,312 500 000 000 000 000 000 031 026 798 373 709 675 307 787 616 256;
  • 87) 0,312 500 000 000 000 000 000 031 026 798 373 709 675 307 787 616 256 × 2 = 0 + 0,625 000 000 000 000 000 000 062 053 596 747 419 350 615 575 232 512;
  • 88) 0,625 000 000 000 000 000 000 062 053 596 747 419 350 615 575 232 512 × 2 = 1 + 0,250 000 000 000 000 000 000 124 107 193 494 838 701 231 150 465 024;
  • 89) 0,250 000 000 000 000 000 000 124 107 193 494 838 701 231 150 465 024 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 000 000 248 214 386 989 677 402 462 300 930 048;
  • 90) 0,500 000 000 000 000 000 000 248 214 386 989 677 402 462 300 930 048 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 000 496 428 773 979 354 804 924 601 860 096;
  • 91) 0,000 000 000 000 000 000 000 496 428 773 979 354 804 924 601 860 096 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 992 857 547 958 709 609 849 203 720 192;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 554 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 52 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100