0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 672 9;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 672 9 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 345 8;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 345 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 691 6;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 691 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 383 2;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 383 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 766 4;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 766 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 532 8;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 532 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 827 065 6;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 827 065 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 654 131 2;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 654 131 2 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 308 262 4;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 308 262 4 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 616 524 8;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 616 524 8 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 233 049 6;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 233 049 6 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 466 099 2;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 466 099 2 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 932 198 4;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 932 198 4 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 864 396 8;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 864 396 8 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 728 793 6;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 728 793 6 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 457 587 2;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 457 587 2 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 915 174 4;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 915 174 4 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 830 348 8;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 830 348 8 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 043 660 697 6;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 043 660 697 6 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 087 321 395 2;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 087 321 395 2 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 174 642 790 4;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 174 642 790 4 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 349 285 580 8;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 349 285 580 8 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 698 571 161 6;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 698 571 161 6 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 397 142 323 2;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 397 142 323 2 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 794 284 646 4;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 794 284 646 4 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 588 569 292 8;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 588 569 292 8 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 177 138 585 6;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 177 138 585 6 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 354 277 171 2;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 354 277 171 2 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 708 554 342 4;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 708 554 342 4 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 273 417 108 684 8;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 273 417 108 684 8 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 546 834 217 369 6;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 546 834 217 369 6 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 093 668 434 739 2;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 093 668 434 739 2 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 187 336 869 478 4;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 187 336 869 478 4 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 374 673 738 956 8;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 374 673 738 956 8 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 749 347 477 913 6;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 749 347 477 913 6 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 498 694 955 827 2;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 498 694 955 827 2 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 997 389 911 654 4;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 997 389 911 654 4 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 994 779 823 308 8;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 994 779 823 308 8 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 989 559 646 617 6;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 989 559 646 617 6 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 647 979 119 293 235 2;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 647 979 119 293 235 2 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 295 958 238 586 470 4;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 295 958 238 586 470 4 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 591 916 477 172 940 8;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 591 916 477 172 940 8 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 183 832 954 345 881 6;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 183 832 954 345 881 6 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 367 665 908 691 763 2;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 367 665 908 691 763 2 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 735 331 817 383 526 4;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 735 331 817 383 526 4 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 470 663 634 767 052 8;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 470 663 634 767 052 8 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 941 327 269 534 105 6;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 941 327 269 534 105 6 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 882 654 539 068 211 2;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 882 654 539 068 211 2 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 765 309 078 136 422 4;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 765 309 078 136 422 4 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 623 530 618 156 272 844 8;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 623 530 618 156 272 844 8 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 247 061 236 312 545 689 6;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 247 061 236 312 545 689 6 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 494 122 472 625 091 379 2;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 494 122 472 625 091 379 2 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 988 244 945 250 182 758 4;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 988 244 945 250 182 758 4 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 976 489 890 500 365 516 8;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 976 489 890 500 365 516 8 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 952 979 781 000 731 033 6;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 952 979 781 000 731 033 6 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 905 959 562 001 462 067 2;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 905 959 562 001 462 067 2 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 811 919 124 002 924 134 4;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 811 919 124 002 924 134 4 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 623 838 248 005 848 268 8;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 623 838 248 005 848 268 8 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 063 247 676 496 011 696 537 6;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 063 247 676 496 011 696 537 6 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 126 495 352 992 023 393 075 2;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 126 495 352 992 023 393 075 2 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 252 990 705 984 046 786 150 4;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 252 990 705 984 046 786 150 4 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 505 981 411 968 093 572 300 8;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 505 981 411 968 093 572 300 8 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 011 962 823 936 187 144 601 6;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 011 962 823 936 187 144 601 6 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 023 925 647 872 374 289 203 2;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 023 925 647 872 374 289 203 2 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 047 851 295 744 748 578 406 4;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 047 851 295 744 748 578 406 4 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 095 702 591 489 497 156 812 8;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 095 702 591 489 497 156 812 8 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 191 405 182 978 994 313 625 6;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 191 405 182 978 994 313 625 6 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 382 810 365 957 988 627 251 2;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 382 810 365 957 988 627 251 2 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 765 620 731 915 977 254 502 4;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 765 620 731 915 977 254 502 4 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 250 000 001 531 241 463 831 954 509 004 8;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 250 000 001 531 241 463 831 954 509 004 8 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 500 000 003 062 482 927 663 909 018 009 6;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 500 000 003 062 482 927 663 909 018 009 6 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 125 000 000 006 124 965 855 327 818 036 019 2;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 125 000 000 006 124 965 855 327 818 036 019 2 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 250 000 000 012 249 931 710 655 636 072 038 4;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 250 000 000 012 249 931 710 655 636 072 038 4 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 500 000 000 024 499 863 421 311 272 144 076 8;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 500 000 000 024 499 863 421 311 272 144 076 8 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 625 000 000 000 048 999 726 842 622 544 288 153 6;
  • 76) 0,849 273 681 640 625 000 000 000 048 999 726 842 622 544 288 153 6 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 250 000 000 000 097 999 453 685 245 088 576 307 2;
  • 77) 0,698 547 363 281 250 000 000 000 097 999 453 685 245 088 576 307 2 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 500 000 000 000 195 998 907 370 490 177 152 614 4;
  • 78) 0,397 094 726 562 500 000 000 000 195 998 907 370 490 177 152 614 4 × 2 = 0 + 0,794 189 453 125 000 000 000 000 391 997 814 740 980 354 305 228 8;
  • 79) 0,794 189 453 125 000 000 000 000 391 997 814 740 980 354 305 228 8 × 2 = 1 + 0,588 378 906 250 000 000 000 000 783 995 629 481 960 708 610 457 6;
  • 80) 0,588 378 906 250 000 000 000 000 783 995 629 481 960 708 610 457 6 × 2 = 1 + 0,176 757 812 500 000 000 000 001 567 991 258 963 921 417 220 915 2;
  • 81) 0,176 757 812 500 000 000 000 001 567 991 258 963 921 417 220 915 2 × 2 = 0 + 0,353 515 625 000 000 000 000 003 135 982 517 927 842 834 441 830 4;
  • 82) 0,353 515 625 000 000 000 000 003 135 982 517 927 842 834 441 830 4 × 2 = 0 + 0,707 031 250 000 000 000 000 006 271 965 035 855 685 668 883 660 8;
  • 83) 0,707 031 250 000 000 000 000 006 271 965 035 855 685 668 883 660 8 × 2 = 1 + 0,414 062 500 000 000 000 000 012 543 930 071 711 371 337 767 321 6;
  • 84) 0,414 062 500 000 000 000 000 012 543 930 071 711 371 337 767 321 6 × 2 = 0 + 0,828 125 000 000 000 000 000 025 087 860 143 422 742 675 534 643 2;
  • 85) 0,828 125 000 000 000 000 000 025 087 860 143 422 742 675 534 643 2 × 2 = 1 + 0,656 250 000 000 000 000 000 050 175 720 286 845 485 351 069 286 4;
  • 86) 0,656 250 000 000 000 000 000 050 175 720 286 845 485 351 069 286 4 × 2 = 1 + 0,312 500 000 000 000 000 000 100 351 440 573 690 970 702 138 572 8;
  • 87) 0,312 500 000 000 000 000 000 100 351 440 573 690 970 702 138 572 8 × 2 = 0 + 0,625 000 000 000 000 000 000 200 702 881 147 381 941 404 277 145 6;
  • 88) 0,625 000 000 000 000 000 000 200 702 881 147 381 941 404 277 145 6 × 2 = 1 + 0,250 000 000 000 000 000 000 401 405 762 294 763 882 808 554 291 2;
  • 89) 0,250 000 000 000 000 000 000 401 405 762 294 763 882 808 554 291 2 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 000 000 802 811 524 589 527 765 617 108 582 4;
  • 90) 0,500 000 000 000 000 000 000 802 811 524 589 527 765 617 108 582 4 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 001 605 623 049 179 055 531 234 217 164 8;
  • 91) 0,000 000 000 000 000 000 001 605 623 049 179 055 531 234 217 164 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 003 211 246 098 358 111 062 468 434 329 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 45 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 336 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100