0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9 × 2 = 0 + 0,000 000 000 222 022 220 220 222 200 000 022 202 002 222 247 8;
  • 2) 0,000 000 000 222 022 220 220 222 200 000 022 202 002 222 247 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 444 044 440 440 444 400 000 044 404 004 444 495 6;
  • 3) 0,000 000 000 444 044 440 440 444 400 000 044 404 004 444 495 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 888 088 880 880 888 800 000 088 808 008 888 991 2;
  • 4) 0,000 000 000 888 088 880 880 888 800 000 088 808 008 888 991 2 × 2 = 0 + 0,000 000 001 776 177 761 761 777 600 000 177 616 017 777 982 4;
  • 5) 0,000 000 001 776 177 761 761 777 600 000 177 616 017 777 982 4 × 2 = 0 + 0,000 000 003 552 355 523 523 555 200 000 355 232 035 555 964 8;
  • 6) 0,000 000 003 552 355 523 523 555 200 000 355 232 035 555 964 8 × 2 = 0 + 0,000 000 007 104 711 047 047 110 400 000 710 464 071 111 929 6;
  • 7) 0,000 000 007 104 711 047 047 110 400 000 710 464 071 111 929 6 × 2 = 0 + 0,000 000 014 209 422 094 094 220 800 001 420 928 142 223 859 2;
  • 8) 0,000 000 014 209 422 094 094 220 800 001 420 928 142 223 859 2 × 2 = 0 + 0,000 000 028 418 844 188 188 441 600 002 841 856 284 447 718 4;
  • 9) 0,000 000 028 418 844 188 188 441 600 002 841 856 284 447 718 4 × 2 = 0 + 0,000 000 056 837 688 376 376 883 200 005 683 712 568 895 436 8;
  • 10) 0,000 000 056 837 688 376 376 883 200 005 683 712 568 895 436 8 × 2 = 0 + 0,000 000 113 675 376 752 753 766 400 011 367 425 137 790 873 6;
  • 11) 0,000 000 113 675 376 752 753 766 400 011 367 425 137 790 873 6 × 2 = 0 + 0,000 000 227 350 753 505 507 532 800 022 734 850 275 581 747 2;
  • 12) 0,000 000 227 350 753 505 507 532 800 022 734 850 275 581 747 2 × 2 = 0 + 0,000 000 454 701 507 011 015 065 600 045 469 700 551 163 494 4;
  • 13) 0,000 000 454 701 507 011 015 065 600 045 469 700 551 163 494 4 × 2 = 0 + 0,000 000 909 403 014 022 030 131 200 090 939 401 102 326 988 8;
  • 14) 0,000 000 909 403 014 022 030 131 200 090 939 401 102 326 988 8 × 2 = 0 + 0,000 001 818 806 028 044 060 262 400 181 878 802 204 653 977 6;
  • 15) 0,000 001 818 806 028 044 060 262 400 181 878 802 204 653 977 6 × 2 = 0 + 0,000 003 637 612 056 088 120 524 800 363 757 604 409 307 955 2;
  • 16) 0,000 003 637 612 056 088 120 524 800 363 757 604 409 307 955 2 × 2 = 0 + 0,000 007 275 224 112 176 241 049 600 727 515 208 818 615 910 4;
  • 17) 0,000 007 275 224 112 176 241 049 600 727 515 208 818 615 910 4 × 2 = 0 + 0,000 014 550 448 224 352 482 099 201 455 030 417 637 231 820 8;
  • 18) 0,000 014 550 448 224 352 482 099 201 455 030 417 637 231 820 8 × 2 = 0 + 0,000 029 100 896 448 704 964 198 402 910 060 835 274 463 641 6;
  • 19) 0,000 029 100 896 448 704 964 198 402 910 060 835 274 463 641 6 × 2 = 0 + 0,000 058 201 792 897 409 928 396 805 820 121 670 548 927 283 2;
  • 20) 0,000 058 201 792 897 409 928 396 805 820 121 670 548 927 283 2 × 2 = 0 + 0,000 116 403 585 794 819 856 793 611 640 243 341 097 854 566 4;
  • 21) 0,000 116 403 585 794 819 856 793 611 640 243 341 097 854 566 4 × 2 = 0 + 0,000 232 807 171 589 639 713 587 223 280 486 682 195 709 132 8;
  • 22) 0,000 232 807 171 589 639 713 587 223 280 486 682 195 709 132 8 × 2 = 0 + 0,000 465 614 343 179 279 427 174 446 560 973 364 391 418 265 6;
  • 23) 0,000 465 614 343 179 279 427 174 446 560 973 364 391 418 265 6 × 2 = 0 + 0,000 931 228 686 358 558 854 348 893 121 946 728 782 836 531 2;
  • 24) 0,000 931 228 686 358 558 854 348 893 121 946 728 782 836 531 2 × 2 = 0 + 0,001 862 457 372 717 117 708 697 786 243 893 457 565 673 062 4;
  • 25) 0,001 862 457 372 717 117 708 697 786 243 893 457 565 673 062 4 × 2 = 0 + 0,003 724 914 745 434 235 417 395 572 487 786 915 131 346 124 8;
  • 26) 0,003 724 914 745 434 235 417 395 572 487 786 915 131 346 124 8 × 2 = 0 + 0,007 449 829 490 868 470 834 791 144 975 573 830 262 692 249 6;
  • 27) 0,007 449 829 490 868 470 834 791 144 975 573 830 262 692 249 6 × 2 = 0 + 0,014 899 658 981 736 941 669 582 289 951 147 660 525 384 499 2;
  • 28) 0,014 899 658 981 736 941 669 582 289 951 147 660 525 384 499 2 × 2 = 0 + 0,029 799 317 963 473 883 339 164 579 902 295 321 050 768 998 4;
  • 29) 0,029 799 317 963 473 883 339 164 579 902 295 321 050 768 998 4 × 2 = 0 + 0,059 598 635 926 947 766 678 329 159 804 590 642 101 537 996 8;
  • 30) 0,059 598 635 926 947 766 678 329 159 804 590 642 101 537 996 8 × 2 = 0 + 0,119 197 271 853 895 533 356 658 319 609 181 284 203 075 993 6;
  • 31) 0,119 197 271 853 895 533 356 658 319 609 181 284 203 075 993 6 × 2 = 0 + 0,238 394 543 707 791 066 713 316 639 218 362 568 406 151 987 2;
  • 32) 0,238 394 543 707 791 066 713 316 639 218 362 568 406 151 987 2 × 2 = 0 + 0,476 789 087 415 582 133 426 633 278 436 725 136 812 303 974 4;
  • 33) 0,476 789 087 415 582 133 426 633 278 436 725 136 812 303 974 4 × 2 = 0 + 0,953 578 174 831 164 266 853 266 556 873 450 273 624 607 948 8;
  • 34) 0,953 578 174 831 164 266 853 266 556 873 450 273 624 607 948 8 × 2 = 1 + 0,907 156 349 662 328 533 706 533 113 746 900 547 249 215 897 6;
  • 35) 0,907 156 349 662 328 533 706 533 113 746 900 547 249 215 897 6 × 2 = 1 + 0,814 312 699 324 657 067 413 066 227 493 801 094 498 431 795 2;
  • 36) 0,814 312 699 324 657 067 413 066 227 493 801 094 498 431 795 2 × 2 = 1 + 0,628 625 398 649 314 134 826 132 454 987 602 188 996 863 590 4;
  • 37) 0,628 625 398 649 314 134 826 132 454 987 602 188 996 863 590 4 × 2 = 1 + 0,257 250 797 298 628 269 652 264 909 975 204 377 993 727 180 8;
  • 38) 0,257 250 797 298 628 269 652 264 909 975 204 377 993 727 180 8 × 2 = 0 + 0,514 501 594 597 256 539 304 529 819 950 408 755 987 454 361 6;
  • 39) 0,514 501 594 597 256 539 304 529 819 950 408 755 987 454 361 6 × 2 = 1 + 0,029 003 189 194 513 078 609 059 639 900 817 511 974 908 723 2;
  • 40) 0,029 003 189 194 513 078 609 059 639 900 817 511 974 908 723 2 × 2 = 0 + 0,058 006 378 389 026 157 218 119 279 801 635 023 949 817 446 4;
  • 41) 0,058 006 378 389 026 157 218 119 279 801 635 023 949 817 446 4 × 2 = 0 + 0,116 012 756 778 052 314 436 238 559 603 270 047 899 634 892 8;
  • 42) 0,116 012 756 778 052 314 436 238 559 603 270 047 899 634 892 8 × 2 = 0 + 0,232 025 513 556 104 628 872 477 119 206 540 095 799 269 785 6;
  • 43) 0,232 025 513 556 104 628 872 477 119 206 540 095 799 269 785 6 × 2 = 0 + 0,464 051 027 112 209 257 744 954 238 413 080 191 598 539 571 2;
  • 44) 0,464 051 027 112 209 257 744 954 238 413 080 191 598 539 571 2 × 2 = 0 + 0,928 102 054 224 418 515 489 908 476 826 160 383 197 079 142 4;
  • 45) 0,928 102 054 224 418 515 489 908 476 826 160 383 197 079 142 4 × 2 = 1 + 0,856 204 108 448 837 030 979 816 953 652 320 766 394 158 284 8;
  • 46) 0,856 204 108 448 837 030 979 816 953 652 320 766 394 158 284 8 × 2 = 1 + 0,712 408 216 897 674 061 959 633 907 304 641 532 788 316 569 6;
  • 47) 0,712 408 216 897 674 061 959 633 907 304 641 532 788 316 569 6 × 2 = 1 + 0,424 816 433 795 348 123 919 267 814 609 283 065 576 633 139 2;
  • 48) 0,424 816 433 795 348 123 919 267 814 609 283 065 576 633 139 2 × 2 = 0 + 0,849 632 867 590 696 247 838 535 629 218 566 131 153 266 278 4;
  • 49) 0,849 632 867 590 696 247 838 535 629 218 566 131 153 266 278 4 × 2 = 1 + 0,699 265 735 181 392 495 677 071 258 437 132 262 306 532 556 8;
  • 50) 0,699 265 735 181 392 495 677 071 258 437 132 262 306 532 556 8 × 2 = 1 + 0,398 531 470 362 784 991 354 142 516 874 264 524 613 065 113 6;
  • 51) 0,398 531 470 362 784 991 354 142 516 874 264 524 613 065 113 6 × 2 = 0 + 0,797 062 940 725 569 982 708 285 033 748 529 049 226 130 227 2;
  • 52) 0,797 062 940 725 569 982 708 285 033 748 529 049 226 130 227 2 × 2 = 1 + 0,594 125 881 451 139 965 416 570 067 497 058 098 452 260 454 4;
  • 53) 0,594 125 881 451 139 965 416 570 067 497 058 098 452 260 454 4 × 2 = 1 + 0,188 251 762 902 279 930 833 140 134 994 116 196 904 520 908 8;
  • 54) 0,188 251 762 902 279 930 833 140 134 994 116 196 904 520 908 8 × 2 = 0 + 0,376 503 525 804 559 861 666 280 269 988 232 393 809 041 817 6;
  • 55) 0,376 503 525 804 559 861 666 280 269 988 232 393 809 041 817 6 × 2 = 0 + 0,753 007 051 609 119 723 332 560 539 976 464 787 618 083 635 2;
  • 56) 0,753 007 051 609 119 723 332 560 539 976 464 787 618 083 635 2 × 2 = 1 + 0,506 014 103 218 239 446 665 121 079 952 929 575 236 167 270 4;
  • 57) 0,506 014 103 218 239 446 665 121 079 952 929 575 236 167 270 4 × 2 = 1 + 0,012 028 206 436 478 893 330 242 159 905 859 150 472 334 540 8;
  • 58) 0,012 028 206 436 478 893 330 242 159 905 859 150 472 334 540 8 × 2 = 0 + 0,024 056 412 872 957 786 660 484 319 811 718 300 944 669 081 6;
  • 59) 0,024 056 412 872 957 786 660 484 319 811 718 300 944 669 081 6 × 2 = 0 + 0,048 112 825 745 915 573 320 968 639 623 436 601 889 338 163 2;
  • 60) 0,048 112 825 745 915 573 320 968 639 623 436 601 889 338 163 2 × 2 = 0 + 0,096 225 651 491 831 146 641 937 279 246 873 203 778 676 326 4;
  • 61) 0,096 225 651 491 831 146 641 937 279 246 873 203 778 676 326 4 × 2 = 0 + 0,192 451 302 983 662 293 283 874 558 493 746 407 557 352 652 8;
  • 62) 0,192 451 302 983 662 293 283 874 558 493 746 407 557 352 652 8 × 2 = 0 + 0,384 902 605 967 324 586 567 749 116 987 492 815 114 705 305 6;
  • 63) 0,384 902 605 967 324 586 567 749 116 987 492 815 114 705 305 6 × 2 = 0 + 0,769 805 211 934 649 173 135 498 233 974 985 630 229 410 611 2;
  • 64) 0,769 805 211 934 649 173 135 498 233 974 985 630 229 410 611 2 × 2 = 1 + 0,539 610 423 869 298 346 270 996 467 949 971 260 458 821 222 4;
  • 65) 0,539 610 423 869 298 346 270 996 467 949 971 260 458 821 222 4 × 2 = 1 + 0,079 220 847 738 596 692 541 992 935 899 942 520 917 642 444 8;
  • 66) 0,079 220 847 738 596 692 541 992 935 899 942 520 917 642 444 8 × 2 = 0 + 0,158 441 695 477 193 385 083 985 871 799 885 041 835 284 889 6;
  • 67) 0,158 441 695 477 193 385 083 985 871 799 885 041 835 284 889 6 × 2 = 0 + 0,316 883 390 954 386 770 167 971 743 599 770 083 670 569 779 2;
  • 68) 0,316 883 390 954 386 770 167 971 743 599 770 083 670 569 779 2 × 2 = 0 + 0,633 766 781 908 773 540 335 943 487 199 540 167 341 139 558 4;
  • 69) 0,633 766 781 908 773 540 335 943 487 199 540 167 341 139 558 4 × 2 = 1 + 0,267 533 563 817 547 080 671 886 974 399 080 334 682 279 116 8;
  • 70) 0,267 533 563 817 547 080 671 886 974 399 080 334 682 279 116 8 × 2 = 0 + 0,535 067 127 635 094 161 343 773 948 798 160 669 364 558 233 6;
  • 71) 0,535 067 127 635 094 161 343 773 948 798 160 669 364 558 233 6 × 2 = 1 + 0,070 134 255 270 188 322 687 547 897 596 321 338 729 116 467 2;
  • 72) 0,070 134 255 270 188 322 687 547 897 596 321 338 729 116 467 2 × 2 = 0 + 0,140 268 510 540 376 645 375 095 795 192 642 677 458 232 934 4;
  • 73) 0,140 268 510 540 376 645 375 095 795 192 642 677 458 232 934 4 × 2 = 0 + 0,280 537 021 080 753 290 750 191 590 385 285 354 916 465 868 8;
  • 74) 0,280 537 021 080 753 290 750 191 590 385 285 354 916 465 868 8 × 2 = 0 + 0,561 074 042 161 506 581 500 383 180 770 570 709 832 931 737 6;
  • 75) 0,561 074 042 161 506 581 500 383 180 770 570 709 832 931 737 6 × 2 = 1 + 0,122 148 084 323 013 163 000 766 361 541 141 419 665 863 475 2;
  • 76) 0,122 148 084 323 013 163 000 766 361 541 141 419 665 863 475 2 × 2 = 0 + 0,244 296 168 646 026 326 001 532 723 082 282 839 331 726 950 4;
  • 77) 0,244 296 168 646 026 326 001 532 723 082 282 839 331 726 950 4 × 2 = 0 + 0,488 592 337 292 052 652 003 065 446 164 565 678 663 453 900 8;
  • 78) 0,488 592 337 292 052 652 003 065 446 164 565 678 663 453 900 8 × 2 = 0 + 0,977 184 674 584 105 304 006 130 892 329 131 357 326 907 801 6;
  • 79) 0,977 184 674 584 105 304 006 130 892 329 131 357 326 907 801 6 × 2 = 1 + 0,954 369 349 168 210 608 012 261 784 658 262 714 653 815 603 2;
  • 80) 0,954 369 349 168 210 608 012 261 784 658 262 714 653 815 603 2 × 2 = 1 + 0,908 738 698 336 421 216 024 523 569 316 525 429 307 631 206 4;
  • 81) 0,908 738 698 336 421 216 024 523 569 316 525 429 307 631 206 4 × 2 = 1 + 0,817 477 396 672 842 432 049 047 138 633 050 858 615 262 412 8;
  • 82) 0,817 477 396 672 842 432 049 047 138 633 050 858 615 262 412 8 × 2 = 1 + 0,634 954 793 345 684 864 098 094 277 266 101 717 230 524 825 6;
  • 83) 0,634 954 793 345 684 864 098 094 277 266 101 717 230 524 825 6 × 2 = 1 + 0,269 909 586 691 369 728 196 188 554 532 203 434 461 049 651 2;
  • 84) 0,269 909 586 691 369 728 196 188 554 532 203 434 461 049 651 2 × 2 = 0 + 0,539 819 173 382 739 456 392 377 109 064 406 868 922 099 302 4;
  • 85) 0,539 819 173 382 739 456 392 377 109 064 406 868 922 099 302 4 × 2 = 1 + 0,079 638 346 765 478 912 784 754 218 128 813 737 844 198 604 8;
  • 86) 0,079 638 346 765 478 912 784 754 218 128 813 737 844 198 604 8 × 2 = 0 + 0,159 276 693 530 957 825 569 508 436 257 627 475 688 397 209 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 34 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1010 0000 1110 1101 1001 1000 0001 1000 1010 0010 0011 1110 10(2) × 20 =

1,1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010(2) × 2-34


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -34

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-34 + 2(11-1) - 1 =

(-34 + 1 023)(10) =

989(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 989 : 2 = 494 + 1;
  • 494 : 2 = 247 + 0;
  • 247 : 2 = 123 + 1;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

989(10) =

011 1101 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010 =

1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1101

Mantisă (52 biți) =
1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 123 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1101 - 1110 1000 0011 1011 0110 0110 0000 0110 0010 1000 1000 1111 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 111 011 110 110 111 100 000 011 101 001 111 128 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100