0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09 × 2 = 0 + 0,000 000 001 269 502 735 778 395 602 442 523 266 18;
  • 2) 0,000 000 001 269 502 735 778 395 602 442 523 266 18 × 2 = 0 + 0,000 000 002 539 005 471 556 791 204 885 046 532 36;
  • 3) 0,000 000 002 539 005 471 556 791 204 885 046 532 36 × 2 = 0 + 0,000 000 005 078 010 943 113 582 409 770 093 064 72;
  • 4) 0,000 000 005 078 010 943 113 582 409 770 093 064 72 × 2 = 0 + 0,000 000 010 156 021 886 227 164 819 540 186 129 44;
  • 5) 0,000 000 010 156 021 886 227 164 819 540 186 129 44 × 2 = 0 + 0,000 000 020 312 043 772 454 329 639 080 372 258 88;
  • 6) 0,000 000 020 312 043 772 454 329 639 080 372 258 88 × 2 = 0 + 0,000 000 040 624 087 544 908 659 278 160 744 517 76;
  • 7) 0,000 000 040 624 087 544 908 659 278 160 744 517 76 × 2 = 0 + 0,000 000 081 248 175 089 817 318 556 321 489 035 52;
  • 8) 0,000 000 081 248 175 089 817 318 556 321 489 035 52 × 2 = 0 + 0,000 000 162 496 350 179 634 637 112 642 978 071 04;
  • 9) 0,000 000 162 496 350 179 634 637 112 642 978 071 04 × 2 = 0 + 0,000 000 324 992 700 359 269 274 225 285 956 142 08;
  • 10) 0,000 000 324 992 700 359 269 274 225 285 956 142 08 × 2 = 0 + 0,000 000 649 985 400 718 538 548 450 571 912 284 16;
  • 11) 0,000 000 649 985 400 718 538 548 450 571 912 284 16 × 2 = 0 + 0,000 001 299 970 801 437 077 096 901 143 824 568 32;
  • 12) 0,000 001 299 970 801 437 077 096 901 143 824 568 32 × 2 = 0 + 0,000 002 599 941 602 874 154 193 802 287 649 136 64;
  • 13) 0,000 002 599 941 602 874 154 193 802 287 649 136 64 × 2 = 0 + 0,000 005 199 883 205 748 308 387 604 575 298 273 28;
  • 14) 0,000 005 199 883 205 748 308 387 604 575 298 273 28 × 2 = 0 + 0,000 010 399 766 411 496 616 775 209 150 596 546 56;
  • 15) 0,000 010 399 766 411 496 616 775 209 150 596 546 56 × 2 = 0 + 0,000 020 799 532 822 993 233 550 418 301 193 093 12;
  • 16) 0,000 020 799 532 822 993 233 550 418 301 193 093 12 × 2 = 0 + 0,000 041 599 065 645 986 467 100 836 602 386 186 24;
  • 17) 0,000 041 599 065 645 986 467 100 836 602 386 186 24 × 2 = 0 + 0,000 083 198 131 291 972 934 201 673 204 772 372 48;
  • 18) 0,000 083 198 131 291 972 934 201 673 204 772 372 48 × 2 = 0 + 0,000 166 396 262 583 945 868 403 346 409 544 744 96;
  • 19) 0,000 166 396 262 583 945 868 403 346 409 544 744 96 × 2 = 0 + 0,000 332 792 525 167 891 736 806 692 819 089 489 92;
  • 20) 0,000 332 792 525 167 891 736 806 692 819 089 489 92 × 2 = 0 + 0,000 665 585 050 335 783 473 613 385 638 178 979 84;
  • 21) 0,000 665 585 050 335 783 473 613 385 638 178 979 84 × 2 = 0 + 0,001 331 170 100 671 566 947 226 771 276 357 959 68;
  • 22) 0,001 331 170 100 671 566 947 226 771 276 357 959 68 × 2 = 0 + 0,002 662 340 201 343 133 894 453 542 552 715 919 36;
  • 23) 0,002 662 340 201 343 133 894 453 542 552 715 919 36 × 2 = 0 + 0,005 324 680 402 686 267 788 907 085 105 431 838 72;
  • 24) 0,005 324 680 402 686 267 788 907 085 105 431 838 72 × 2 = 0 + 0,010 649 360 805 372 535 577 814 170 210 863 677 44;
  • 25) 0,010 649 360 805 372 535 577 814 170 210 863 677 44 × 2 = 0 + 0,021 298 721 610 745 071 155 628 340 421 727 354 88;
  • 26) 0,021 298 721 610 745 071 155 628 340 421 727 354 88 × 2 = 0 + 0,042 597 443 221 490 142 311 256 680 843 454 709 76;
  • 27) 0,042 597 443 221 490 142 311 256 680 843 454 709 76 × 2 = 0 + 0,085 194 886 442 980 284 622 513 361 686 909 419 52;
  • 28) 0,085 194 886 442 980 284 622 513 361 686 909 419 52 × 2 = 0 + 0,170 389 772 885 960 569 245 026 723 373 818 839 04;
  • 29) 0,170 389 772 885 960 569 245 026 723 373 818 839 04 × 2 = 0 + 0,340 779 545 771 921 138 490 053 446 747 637 678 08;
  • 30) 0,340 779 545 771 921 138 490 053 446 747 637 678 08 × 2 = 0 + 0,681 559 091 543 842 276 980 106 893 495 275 356 16;
  • 31) 0,681 559 091 543 842 276 980 106 893 495 275 356 16 × 2 = 1 + 0,363 118 183 087 684 553 960 213 786 990 550 712 32;
  • 32) 0,363 118 183 087 684 553 960 213 786 990 550 712 32 × 2 = 0 + 0,726 236 366 175 369 107 920 427 573 981 101 424 64;
  • 33) 0,726 236 366 175 369 107 920 427 573 981 101 424 64 × 2 = 1 + 0,452 472 732 350 738 215 840 855 147 962 202 849 28;
  • 34) 0,452 472 732 350 738 215 840 855 147 962 202 849 28 × 2 = 0 + 0,904 945 464 701 476 431 681 710 295 924 405 698 56;
  • 35) 0,904 945 464 701 476 431 681 710 295 924 405 698 56 × 2 = 1 + 0,809 890 929 402 952 863 363 420 591 848 811 397 12;
  • 36) 0,809 890 929 402 952 863 363 420 591 848 811 397 12 × 2 = 1 + 0,619 781 858 805 905 726 726 841 183 697 622 794 24;
  • 37) 0,619 781 858 805 905 726 726 841 183 697 622 794 24 × 2 = 1 + 0,239 563 717 611 811 453 453 682 367 395 245 588 48;
  • 38) 0,239 563 717 611 811 453 453 682 367 395 245 588 48 × 2 = 0 + 0,479 127 435 223 622 906 907 364 734 790 491 176 96;
  • 39) 0,479 127 435 223 622 906 907 364 734 790 491 176 96 × 2 = 0 + 0,958 254 870 447 245 813 814 729 469 580 982 353 92;
  • 40) 0,958 254 870 447 245 813 814 729 469 580 982 353 92 × 2 = 1 + 0,916 509 740 894 491 627 629 458 939 161 964 707 84;
  • 41) 0,916 509 740 894 491 627 629 458 939 161 964 707 84 × 2 = 1 + 0,833 019 481 788 983 255 258 917 878 323 929 415 68;
  • 42) 0,833 019 481 788 983 255 258 917 878 323 929 415 68 × 2 = 1 + 0,666 038 963 577 966 510 517 835 756 647 858 831 36;
  • 43) 0,666 038 963 577 966 510 517 835 756 647 858 831 36 × 2 = 1 + 0,332 077 927 155 933 021 035 671 513 295 717 662 72;
  • 44) 0,332 077 927 155 933 021 035 671 513 295 717 662 72 × 2 = 0 + 0,664 155 854 311 866 042 071 343 026 591 435 325 44;
  • 45) 0,664 155 854 311 866 042 071 343 026 591 435 325 44 × 2 = 1 + 0,328 311 708 623 732 084 142 686 053 182 870 650 88;
  • 46) 0,328 311 708 623 732 084 142 686 053 182 870 650 88 × 2 = 0 + 0,656 623 417 247 464 168 285 372 106 365 741 301 76;
  • 47) 0,656 623 417 247 464 168 285 372 106 365 741 301 76 × 2 = 1 + 0,313 246 834 494 928 336 570 744 212 731 482 603 52;
  • 48) 0,313 246 834 494 928 336 570 744 212 731 482 603 52 × 2 = 0 + 0,626 493 668 989 856 673 141 488 425 462 965 207 04;
  • 49) 0,626 493 668 989 856 673 141 488 425 462 965 207 04 × 2 = 1 + 0,252 987 337 979 713 346 282 976 850 925 930 414 08;
  • 50) 0,252 987 337 979 713 346 282 976 850 925 930 414 08 × 2 = 0 + 0,505 974 675 959 426 692 565 953 701 851 860 828 16;
  • 51) 0,505 974 675 959 426 692 565 953 701 851 860 828 16 × 2 = 1 + 0,011 949 351 918 853 385 131 907 403 703 721 656 32;
  • 52) 0,011 949 351 918 853 385 131 907 403 703 721 656 32 × 2 = 0 + 0,023 898 703 837 706 770 263 814 807 407 443 312 64;
  • 53) 0,023 898 703 837 706 770 263 814 807 407 443 312 64 × 2 = 0 + 0,047 797 407 675 413 540 527 629 614 814 886 625 28;
  • 54) 0,047 797 407 675 413 540 527 629 614 814 886 625 28 × 2 = 0 + 0,095 594 815 350 827 081 055 259 229 629 773 250 56;
  • 55) 0,095 594 815 350 827 081 055 259 229 629 773 250 56 × 2 = 0 + 0,191 189 630 701 654 162 110 518 459 259 546 501 12;
  • 56) 0,191 189 630 701 654 162 110 518 459 259 546 501 12 × 2 = 0 + 0,382 379 261 403 308 324 221 036 918 519 093 002 24;
  • 57) 0,382 379 261 403 308 324 221 036 918 519 093 002 24 × 2 = 0 + 0,764 758 522 806 616 648 442 073 837 038 186 004 48;
  • 58) 0,764 758 522 806 616 648 442 073 837 038 186 004 48 × 2 = 1 + 0,529 517 045 613 233 296 884 147 674 076 372 008 96;
  • 59) 0,529 517 045 613 233 296 884 147 674 076 372 008 96 × 2 = 1 + 0,059 034 091 226 466 593 768 295 348 152 744 017 92;
  • 60) 0,059 034 091 226 466 593 768 295 348 152 744 017 92 × 2 = 0 + 0,118 068 182 452 933 187 536 590 696 305 488 035 84;
  • 61) 0,118 068 182 452 933 187 536 590 696 305 488 035 84 × 2 = 0 + 0,236 136 364 905 866 375 073 181 392 610 976 071 68;
  • 62) 0,236 136 364 905 866 375 073 181 392 610 976 071 68 × 2 = 0 + 0,472 272 729 811 732 750 146 362 785 221 952 143 36;
  • 63) 0,472 272 729 811 732 750 146 362 785 221 952 143 36 × 2 = 0 + 0,944 545 459 623 465 500 292 725 570 443 904 286 72;
  • 64) 0,944 545 459 623 465 500 292 725 570 443 904 286 72 × 2 = 1 + 0,889 090 919 246 931 000 585 451 140 887 808 573 44;
  • 65) 0,889 090 919 246 931 000 585 451 140 887 808 573 44 × 2 = 1 + 0,778 181 838 493 862 001 170 902 281 775 617 146 88;
  • 66) 0,778 181 838 493 862 001 170 902 281 775 617 146 88 × 2 = 1 + 0,556 363 676 987 724 002 341 804 563 551 234 293 76;
  • 67) 0,556 363 676 987 724 002 341 804 563 551 234 293 76 × 2 = 1 + 0,112 727 353 975 448 004 683 609 127 102 468 587 52;
  • 68) 0,112 727 353 975 448 004 683 609 127 102 468 587 52 × 2 = 0 + 0,225 454 707 950 896 009 367 218 254 204 937 175 04;
  • 69) 0,225 454 707 950 896 009 367 218 254 204 937 175 04 × 2 = 0 + 0,450 909 415 901 792 018 734 436 508 409 874 350 08;
  • 70) 0,450 909 415 901 792 018 734 436 508 409 874 350 08 × 2 = 0 + 0,901 818 831 803 584 037 468 873 016 819 748 700 16;
  • 71) 0,901 818 831 803 584 037 468 873 016 819 748 700 16 × 2 = 1 + 0,803 637 663 607 168 074 937 746 033 639 497 400 32;
  • 72) 0,803 637 663 607 168 074 937 746 033 639 497 400 32 × 2 = 1 + 0,607 275 327 214 336 149 875 492 067 278 994 800 64;
  • 73) 0,607 275 327 214 336 149 875 492 067 278 994 800 64 × 2 = 1 + 0,214 550 654 428 672 299 750 984 134 557 989 601 28;
  • 74) 0,214 550 654 428 672 299 750 984 134 557 989 601 28 × 2 = 0 + 0,429 101 308 857 344 599 501 968 269 115 979 202 56;
  • 75) 0,429 101 308 857 344 599 501 968 269 115 979 202 56 × 2 = 0 + 0,858 202 617 714 689 199 003 936 538 231 958 405 12;
  • 76) 0,858 202 617 714 689 199 003 936 538 231 958 405 12 × 2 = 1 + 0,716 405 235 429 378 398 007 873 076 463 916 810 24;
  • 77) 0,716 405 235 429 378 398 007 873 076 463 916 810 24 × 2 = 1 + 0,432 810 470 858 756 796 015 746 152 927 833 620 48;
  • 78) 0,432 810 470 858 756 796 015 746 152 927 833 620 48 × 2 = 0 + 0,865 620 941 717 513 592 031 492 305 855 667 240 96;
  • 79) 0,865 620 941 717 513 592 031 492 305 855 667 240 96 × 2 = 1 + 0,731 241 883 435 027 184 062 984 611 711 334 481 92;
  • 80) 0,731 241 883 435 027 184 062 984 611 711 334 481 92 × 2 = 1 + 0,462 483 766 870 054 368 125 969 223 422 668 963 84;
  • 81) 0,462 483 766 870 054 368 125 969 223 422 668 963 84 × 2 = 0 + 0,924 967 533 740 108 736 251 938 446 845 337 927 68;
  • 82) 0,924 967 533 740 108 736 251 938 446 845 337 927 68 × 2 = 1 + 0,849 935 067 480 217 472 503 876 893 690 675 855 36;
  • 83) 0,849 935 067 480 217 472 503 876 893 690 675 855 36 × 2 = 1 + 0,699 870 134 960 434 945 007 753 787 381 351 710 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1001 1110 1010 1010 0000 0110 0001 1110 0011 1001 1011 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1001 1110 1010 1010 0000 0110 0001 1110 0011 1001 1011 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 31 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1001 1110 1010 1010 0000 0110 0001 1110 0011 1001 1011 011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1011 1001 1110 1010 1010 0000 0110 0001 1110 0011 1001 1011 011(2) × 20 =

1,0101 1100 1111 0101 0101 0000 0011 0000 1111 0001 1100 1101 1011(2) × 2-31


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -31

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1100 1111 0101 0101 0000 0011 0000 1111 0001 1100 1101 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-31 + 2(11-1) - 1 =

(-31 + 1 023)(10) =

992(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 992 : 2 = 496 + 0;
  • 496 : 2 = 248 + 0;
  • 248 : 2 = 124 + 0;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

992(10) =

011 1110 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1100 1111 0101 0101 0000 0011 0000 1111 0001 1100 1101 1011 =

0101 1100 1111 0101 0101 0000 0011 0000 1111 0001 1100 1101 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1100 1111 0101 0101 0000 0011 0000 1111 0001 1100 1101 1011


Numărul zecimal 0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 09 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 0000 - 0101 1100 1111 0101 0101 0000 0011 0000 1111 0001 1100 1101 1011

» Scriere 0,000 000 000 634 751 367 889 197 801 221 261 633 92 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100