0,000 000 029 371 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 029 371(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 029 371(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 029 371.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 029 371 × 2 = 0 + 0,000 000 058 742;
  • 2) 0,000 000 058 742 × 2 = 0 + 0,000 000 117 484;
  • 3) 0,000 000 117 484 × 2 = 0 + 0,000 000 234 968;
  • 4) 0,000 000 234 968 × 2 = 0 + 0,000 000 469 936;
  • 5) 0,000 000 469 936 × 2 = 0 + 0,000 000 939 872;
  • 6) 0,000 000 939 872 × 2 = 0 + 0,000 001 879 744;
  • 7) 0,000 001 879 744 × 2 = 0 + 0,000 003 759 488;
  • 8) 0,000 003 759 488 × 2 = 0 + 0,000 007 518 976;
  • 9) 0,000 007 518 976 × 2 = 0 + 0,000 015 037 952;
  • 10) 0,000 015 037 952 × 2 = 0 + 0,000 030 075 904;
  • 11) 0,000 030 075 904 × 2 = 0 + 0,000 060 151 808;
  • 12) 0,000 060 151 808 × 2 = 0 + 0,000 120 303 616;
  • 13) 0,000 120 303 616 × 2 = 0 + 0,000 240 607 232;
  • 14) 0,000 240 607 232 × 2 = 0 + 0,000 481 214 464;
  • 15) 0,000 481 214 464 × 2 = 0 + 0,000 962 428 928;
  • 16) 0,000 962 428 928 × 2 = 0 + 0,001 924 857 856;
  • 17) 0,001 924 857 856 × 2 = 0 + 0,003 849 715 712;
  • 18) 0,003 849 715 712 × 2 = 0 + 0,007 699 431 424;
  • 19) 0,007 699 431 424 × 2 = 0 + 0,015 398 862 848;
  • 20) 0,015 398 862 848 × 2 = 0 + 0,030 797 725 696;
  • 21) 0,030 797 725 696 × 2 = 0 + 0,061 595 451 392;
  • 22) 0,061 595 451 392 × 2 = 0 + 0,123 190 902 784;
  • 23) 0,123 190 902 784 × 2 = 0 + 0,246 381 805 568;
  • 24) 0,246 381 805 568 × 2 = 0 + 0,492 763 611 136;
  • 25) 0,492 763 611 136 × 2 = 0 + 0,985 527 222 272;
  • 26) 0,985 527 222 272 × 2 = 1 + 0,971 054 444 544;
  • 27) 0,971 054 444 544 × 2 = 1 + 0,942 108 889 088;
  • 28) 0,942 108 889 088 × 2 = 1 + 0,884 217 778 176;
  • 29) 0,884 217 778 176 × 2 = 1 + 0,768 435 556 352;
  • 30) 0,768 435 556 352 × 2 = 1 + 0,536 871 112 704;
  • 31) 0,536 871 112 704 × 2 = 1 + 0,073 742 225 408;
  • 32) 0,073 742 225 408 × 2 = 0 + 0,147 484 450 816;
  • 33) 0,147 484 450 816 × 2 = 0 + 0,294 968 901 632;
  • 34) 0,294 968 901 632 × 2 = 0 + 0,589 937 803 264;
  • 35) 0,589 937 803 264 × 2 = 1 + 0,179 875 606 528;
  • 36) 0,179 875 606 528 × 2 = 0 + 0,359 751 213 056;
  • 37) 0,359 751 213 056 × 2 = 0 + 0,719 502 426 112;
  • 38) 0,719 502 426 112 × 2 = 1 + 0,439 004 852 224;
  • 39) 0,439 004 852 224 × 2 = 0 + 0,878 009 704 448;
  • 40) 0,878 009 704 448 × 2 = 1 + 0,756 019 408 896;
  • 41) 0,756 019 408 896 × 2 = 1 + 0,512 038 817 792;
  • 42) 0,512 038 817 792 × 2 = 1 + 0,024 077 635 584;
  • 43) 0,024 077 635 584 × 2 = 0 + 0,048 155 271 168;
  • 44) 0,048 155 271 168 × 2 = 0 + 0,096 310 542 336;
  • 45) 0,096 310 542 336 × 2 = 0 + 0,192 621 084 672;
  • 46) 0,192 621 084 672 × 2 = 0 + 0,385 242 169 344;
  • 47) 0,385 242 169 344 × 2 = 0 + 0,770 484 338 688;
  • 48) 0,770 484 338 688 × 2 = 1 + 0,540 968 677 376;
  • 49) 0,540 968 677 376 × 2 = 1 + 0,081 937 354 752;
  • 50) 0,081 937 354 752 × 2 = 0 + 0,163 874 709 504;
  • 51) 0,163 874 709 504 × 2 = 0 + 0,327 749 419 008;
  • 52) 0,327 749 419 008 × 2 = 0 + 0,655 498 838 016;
  • 53) 0,655 498 838 016 × 2 = 1 + 0,310 997 676 032;
  • 54) 0,310 997 676 032 × 2 = 0 + 0,621 995 352 064;
  • 55) 0,621 995 352 064 × 2 = 1 + 0,243 990 704 128;
  • 56) 0,243 990 704 128 × 2 = 0 + 0,487 981 408 256;
  • 57) 0,487 981 408 256 × 2 = 0 + 0,975 962 816 512;
  • 58) 0,975 962 816 512 × 2 = 1 + 0,951 925 633 024;
  • 59) 0,951 925 633 024 × 2 = 1 + 0,903 851 266 048;
  • 60) 0,903 851 266 048 × 2 = 1 + 0,807 702 532 096;
  • 61) 0,807 702 532 096 × 2 = 1 + 0,615 405 064 192;
  • 62) 0,615 405 064 192 × 2 = 1 + 0,230 810 128 384;
  • 63) 0,230 810 128 384 × 2 = 0 + 0,461 620 256 768;
  • 64) 0,461 620 256 768 × 2 = 0 + 0,923 240 513 536;
  • 65) 0,923 240 513 536 × 2 = 1 + 0,846 481 027 072;
  • 66) 0,846 481 027 072 × 2 = 1 + 0,692 962 054 144;
  • 67) 0,692 962 054 144 × 2 = 1 + 0,385 924 108 288;
  • 68) 0,385 924 108 288 × 2 = 0 + 0,771 848 216 576;
  • 69) 0,771 848 216 576 × 2 = 1 + 0,543 696 433 152;
  • 70) 0,543 696 433 152 × 2 = 1 + 0,087 392 866 304;
  • 71) 0,087 392 866 304 × 2 = 0 + 0,174 785 732 608;
  • 72) 0,174 785 732 608 × 2 = 0 + 0,349 571 465 216;
  • 73) 0,349 571 465 216 × 2 = 0 + 0,699 142 930 432;
  • 74) 0,699 142 930 432 × 2 = 1 + 0,398 285 860 864;
  • 75) 0,398 285 860 864 × 2 = 0 + 0,796 571 721 728;
  • 76) 0,796 571 721 728 × 2 = 1 + 0,593 143 443 456;
  • 77) 0,593 143 443 456 × 2 = 1 + 0,186 286 886 912;
  • 78) 0,186 286 886 912 × 2 = 0 + 0,372 573 773 824;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 029 371(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0010 0101 1100 0001 1000 1010 0111 1100 1110 1100 0101 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 029 371(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0010 0101 1100 0001 1000 1010 0111 1100 1110 1100 0101 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 26 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 029 371(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0010 0101 1100 0001 1000 1010 0111 1100 1110 1100 0101 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1110 0010 0101 1100 0001 1000 1010 0111 1100 1110 1100 0101 10(2) × 20 =

1,1111 1000 1001 0111 0000 0110 0010 1001 1111 0011 1011 0001 0110(2) × 2-26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -26

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1000 1001 0111 0000 0110 0010 1001 1111 0011 1011 0001 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-26 + 2(11-1) - 1 =

(-26 + 1 023)(10) =

997(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 997 : 2 = 498 + 1;
  • 498 : 2 = 249 + 0;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

997(10) =

011 1110 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1000 1001 0111 0000 0110 0010 1001 1111 0011 1011 0001 0110 =

1111 1000 1001 0111 0000 0110 0010 1001 1111 0011 1011 0001 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0101

Mantisă (52 biți) =
1111 1000 1001 0111 0000 0110 0010 1001 1111 0011 1011 0001 0110


Numărul zecimal 0,000 000 029 371 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 0101 - 1111 1000 1001 0111 0000 0110 0010 1001 1111 0011 1011 0001 0110

» Scriere 0,000 000 029 415 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100