0,000 000 050 248 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 050 248(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 050 248(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 050 248.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 050 248 × 2 = 0 + 0,000 000 100 496;
  • 2) 0,000 000 100 496 × 2 = 0 + 0,000 000 200 992;
  • 3) 0,000 000 200 992 × 2 = 0 + 0,000 000 401 984;
  • 4) 0,000 000 401 984 × 2 = 0 + 0,000 000 803 968;
  • 5) 0,000 000 803 968 × 2 = 0 + 0,000 001 607 936;
  • 6) 0,000 001 607 936 × 2 = 0 + 0,000 003 215 872;
  • 7) 0,000 003 215 872 × 2 = 0 + 0,000 006 431 744;
  • 8) 0,000 006 431 744 × 2 = 0 + 0,000 012 863 488;
  • 9) 0,000 012 863 488 × 2 = 0 + 0,000 025 726 976;
  • 10) 0,000 025 726 976 × 2 = 0 + 0,000 051 453 952;
  • 11) 0,000 051 453 952 × 2 = 0 + 0,000 102 907 904;
  • 12) 0,000 102 907 904 × 2 = 0 + 0,000 205 815 808;
  • 13) 0,000 205 815 808 × 2 = 0 + 0,000 411 631 616;
  • 14) 0,000 411 631 616 × 2 = 0 + 0,000 823 263 232;
  • 15) 0,000 823 263 232 × 2 = 0 + 0,001 646 526 464;
  • 16) 0,001 646 526 464 × 2 = 0 + 0,003 293 052 928;
  • 17) 0,003 293 052 928 × 2 = 0 + 0,006 586 105 856;
  • 18) 0,006 586 105 856 × 2 = 0 + 0,013 172 211 712;
  • 19) 0,013 172 211 712 × 2 = 0 + 0,026 344 423 424;
  • 20) 0,026 344 423 424 × 2 = 0 + 0,052 688 846 848;
  • 21) 0,052 688 846 848 × 2 = 0 + 0,105 377 693 696;
  • 22) 0,105 377 693 696 × 2 = 0 + 0,210 755 387 392;
  • 23) 0,210 755 387 392 × 2 = 0 + 0,421 510 774 784;
  • 24) 0,421 510 774 784 × 2 = 0 + 0,843 021 549 568;
  • 25) 0,843 021 549 568 × 2 = 1 + 0,686 043 099 136;
  • 26) 0,686 043 099 136 × 2 = 1 + 0,372 086 198 272;
  • 27) 0,372 086 198 272 × 2 = 0 + 0,744 172 396 544;
  • 28) 0,744 172 396 544 × 2 = 1 + 0,488 344 793 088;
  • 29) 0,488 344 793 088 × 2 = 0 + 0,976 689 586 176;
  • 30) 0,976 689 586 176 × 2 = 1 + 0,953 379 172 352;
  • 31) 0,953 379 172 352 × 2 = 1 + 0,906 758 344 704;
  • 32) 0,906 758 344 704 × 2 = 1 + 0,813 516 689 408;
  • 33) 0,813 516 689 408 × 2 = 1 + 0,627 033 378 816;
  • 34) 0,627 033 378 816 × 2 = 1 + 0,254 066 757 632;
  • 35) 0,254 066 757 632 × 2 = 0 + 0,508 133 515 264;
  • 36) 0,508 133 515 264 × 2 = 1 + 0,016 267 030 528;
  • 37) 0,016 267 030 528 × 2 = 0 + 0,032 534 061 056;
  • 38) 0,032 534 061 056 × 2 = 0 + 0,065 068 122 112;
  • 39) 0,065 068 122 112 × 2 = 0 + 0,130 136 244 224;
  • 40) 0,130 136 244 224 × 2 = 0 + 0,260 272 488 448;
  • 41) 0,260 272 488 448 × 2 = 0 + 0,520 544 976 896;
  • 42) 0,520 544 976 896 × 2 = 1 + 0,041 089 953 792;
  • 43) 0,041 089 953 792 × 2 = 0 + 0,082 179 907 584;
  • 44) 0,082 179 907 584 × 2 = 0 + 0,164 359 815 168;
  • 45) 0,164 359 815 168 × 2 = 0 + 0,328 719 630 336;
  • 46) 0,328 719 630 336 × 2 = 0 + 0,657 439 260 672;
  • 47) 0,657 439 260 672 × 2 = 1 + 0,314 878 521 344;
  • 48) 0,314 878 521 344 × 2 = 0 + 0,629 757 042 688;
  • 49) 0,629 757 042 688 × 2 = 1 + 0,259 514 085 376;
  • 50) 0,259 514 085 376 × 2 = 0 + 0,519 028 170 752;
  • 51) 0,519 028 170 752 × 2 = 1 + 0,038 056 341 504;
  • 52) 0,038 056 341 504 × 2 = 0 + 0,076 112 683 008;
  • 53) 0,076 112 683 008 × 2 = 0 + 0,152 225 366 016;
  • 54) 0,152 225 366 016 × 2 = 0 + 0,304 450 732 032;
  • 55) 0,304 450 732 032 × 2 = 0 + 0,608 901 464 064;
  • 56) 0,608 901 464 064 × 2 = 1 + 0,217 802 928 128;
  • 57) 0,217 802 928 128 × 2 = 0 + 0,435 605 856 256;
  • 58) 0,435 605 856 256 × 2 = 0 + 0,871 211 712 512;
  • 59) 0,871 211 712 512 × 2 = 1 + 0,742 423 425 024;
  • 60) 0,742 423 425 024 × 2 = 1 + 0,484 846 850 048;
  • 61) 0,484 846 850 048 × 2 = 0 + 0,969 693 700 096;
  • 62) 0,969 693 700 096 × 2 = 1 + 0,939 387 400 192;
  • 63) 0,939 387 400 192 × 2 = 1 + 0,878 774 800 384;
  • 64) 0,878 774 800 384 × 2 = 1 + 0,757 549 600 768;
  • 65) 0,757 549 600 768 × 2 = 1 + 0,515 099 201 536;
  • 66) 0,515 099 201 536 × 2 = 1 + 0,030 198 403 072;
  • 67) 0,030 198 403 072 × 2 = 0 + 0,060 396 806 144;
  • 68) 0,060 396 806 144 × 2 = 0 + 0,120 793 612 288;
  • 69) 0,120 793 612 288 × 2 = 0 + 0,241 587 224 576;
  • 70) 0,241 587 224 576 × 2 = 0 + 0,483 174 449 152;
  • 71) 0,483 174 449 152 × 2 = 0 + 0,966 348 898 304;
  • 72) 0,966 348 898 304 × 2 = 1 + 0,932 697 796 608;
  • 73) 0,932 697 796 608 × 2 = 1 + 0,865 395 593 216;
  • 74) 0,865 395 593 216 × 2 = 1 + 0,730 791 186 432;
  • 75) 0,730 791 186 432 × 2 = 1 + 0,461 582 372 864;
  • 76) 0,461 582 372 864 × 2 = 0 + 0,923 164 745 728;
  • 77) 0,923 164 745 728 × 2 = 1 + 0,846 329 491 456;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 050 248(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0111 1101 0000 0100 0010 1010 0001 0011 0111 1100 0001 1110 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 050 248(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0111 1101 0000 0100 0010 1010 0001 0011 0111 1100 0001 1110 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 25 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 050 248(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0111 1101 0000 0100 0010 1010 0001 0011 0111 1100 0001 1110 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 1101 0111 1101 0000 0100 0010 1010 0001 0011 0111 1100 0001 1110 1(2) × 20 =

1,1010 1111 1010 0000 1000 0101 0100 0010 0110 1111 1000 0011 1101(2) × 2-25


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -25

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1111 1010 0000 1000 0101 0100 0010 0110 1111 1000 0011 1101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-25 + 2(11-1) - 1 =

(-25 + 1 023)(10) =

998(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 998 : 2 = 499 + 0;
  • 499 : 2 = 249 + 1;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

998(10) =

011 1110 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1111 1010 0000 1000 0101 0100 0010 0110 1111 1000 0011 1101 =

1010 1111 1010 0000 1000 0101 0100 0010 0110 1111 1000 0011 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0110

Mantisă (52 biți) =
1010 1111 1010 0000 1000 0101 0100 0010 0110 1111 1000 0011 1101


Numărul zecimal 0,000 000 050 248 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 0110 - 1010 1111 1010 0000 1000 0101 0100 0010 0110 1111 1000 0011 1101

Distribuie

» Scriere 0,000 000 050 257 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100