0,000 000 061 095 098 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 061 095 098(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 061 095 098(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 061 095 098.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 061 095 098 × 2 = 0 + 0,000 000 122 190 196;
  • 2) 0,000 000 122 190 196 × 2 = 0 + 0,000 000 244 380 392;
  • 3) 0,000 000 244 380 392 × 2 = 0 + 0,000 000 488 760 784;
  • 4) 0,000 000 488 760 784 × 2 = 0 + 0,000 000 977 521 568;
  • 5) 0,000 000 977 521 568 × 2 = 0 + 0,000 001 955 043 136;
  • 6) 0,000 001 955 043 136 × 2 = 0 + 0,000 003 910 086 272;
  • 7) 0,000 003 910 086 272 × 2 = 0 + 0,000 007 820 172 544;
  • 8) 0,000 007 820 172 544 × 2 = 0 + 0,000 015 640 345 088;
  • 9) 0,000 015 640 345 088 × 2 = 0 + 0,000 031 280 690 176;
  • 10) 0,000 031 280 690 176 × 2 = 0 + 0,000 062 561 380 352;
  • 11) 0,000 062 561 380 352 × 2 = 0 + 0,000 125 122 760 704;
  • 12) 0,000 125 122 760 704 × 2 = 0 + 0,000 250 245 521 408;
  • 13) 0,000 250 245 521 408 × 2 = 0 + 0,000 500 491 042 816;
  • 14) 0,000 500 491 042 816 × 2 = 0 + 0,001 000 982 085 632;
  • 15) 0,001 000 982 085 632 × 2 = 0 + 0,002 001 964 171 264;
  • 16) 0,002 001 964 171 264 × 2 = 0 + 0,004 003 928 342 528;
  • 17) 0,004 003 928 342 528 × 2 = 0 + 0,008 007 856 685 056;
  • 18) 0,008 007 856 685 056 × 2 = 0 + 0,016 015 713 370 112;
  • 19) 0,016 015 713 370 112 × 2 = 0 + 0,032 031 426 740 224;
  • 20) 0,032 031 426 740 224 × 2 = 0 + 0,064 062 853 480 448;
  • 21) 0,064 062 853 480 448 × 2 = 0 + 0,128 125 706 960 896;
  • 22) 0,128 125 706 960 896 × 2 = 0 + 0,256 251 413 921 792;
  • 23) 0,256 251 413 921 792 × 2 = 0 + 0,512 502 827 843 584;
  • 24) 0,512 502 827 843 584 × 2 = 1 + 0,025 005 655 687 168;
  • 25) 0,025 005 655 687 168 × 2 = 0 + 0,050 011 311 374 336;
  • 26) 0,050 011 311 374 336 × 2 = 0 + 0,100 022 622 748 672;
  • 27) 0,100 022 622 748 672 × 2 = 0 + 0,200 045 245 497 344;
  • 28) 0,200 045 245 497 344 × 2 = 0 + 0,400 090 490 994 688;
  • 29) 0,400 090 490 994 688 × 2 = 0 + 0,800 180 981 989 376;
  • 30) 0,800 180 981 989 376 × 2 = 1 + 0,600 361 963 978 752;
  • 31) 0,600 361 963 978 752 × 2 = 1 + 0,200 723 927 957 504;
  • 32) 0,200 723 927 957 504 × 2 = 0 + 0,401 447 855 915 008;
  • 33) 0,401 447 855 915 008 × 2 = 0 + 0,802 895 711 830 016;
  • 34) 0,802 895 711 830 016 × 2 = 1 + 0,605 791 423 660 032;
  • 35) 0,605 791 423 660 032 × 2 = 1 + 0,211 582 847 320 064;
  • 36) 0,211 582 847 320 064 × 2 = 0 + 0,423 165 694 640 128;
  • 37) 0,423 165 694 640 128 × 2 = 0 + 0,846 331 389 280 256;
  • 38) 0,846 331 389 280 256 × 2 = 1 + 0,692 662 778 560 512;
  • 39) 0,692 662 778 560 512 × 2 = 1 + 0,385 325 557 121 024;
  • 40) 0,385 325 557 121 024 × 2 = 0 + 0,770 651 114 242 048;
  • 41) 0,770 651 114 242 048 × 2 = 1 + 0,541 302 228 484 096;
  • 42) 0,541 302 228 484 096 × 2 = 1 + 0,082 604 456 968 192;
  • 43) 0,082 604 456 968 192 × 2 = 0 + 0,165 208 913 936 384;
  • 44) 0,165 208 913 936 384 × 2 = 0 + 0,330 417 827 872 768;
  • 45) 0,330 417 827 872 768 × 2 = 0 + 0,660 835 655 745 536;
  • 46) 0,660 835 655 745 536 × 2 = 1 + 0,321 671 311 491 072;
  • 47) 0,321 671 311 491 072 × 2 = 0 + 0,643 342 622 982 144;
  • 48) 0,643 342 622 982 144 × 2 = 1 + 0,286 685 245 964 288;
  • 49) 0,286 685 245 964 288 × 2 = 0 + 0,573 370 491 928 576;
  • 50) 0,573 370 491 928 576 × 2 = 1 + 0,146 740 983 857 152;
  • 51) 0,146 740 983 857 152 × 2 = 0 + 0,293 481 967 714 304;
  • 52) 0,293 481 967 714 304 × 2 = 0 + 0,586 963 935 428 608;
  • 53) 0,586 963 935 428 608 × 2 = 1 + 0,173 927 870 857 216;
  • 54) 0,173 927 870 857 216 × 2 = 0 + 0,347 855 741 714 432;
  • 55) 0,347 855 741 714 432 × 2 = 0 + 0,695 711 483 428 864;
  • 56) 0,695 711 483 428 864 × 2 = 1 + 0,391 422 966 857 728;
  • 57) 0,391 422 966 857 728 × 2 = 0 + 0,782 845 933 715 456;
  • 58) 0,782 845 933 715 456 × 2 = 1 + 0,565 691 867 430 912;
  • 59) 0,565 691 867 430 912 × 2 = 1 + 0,131 383 734 861 824;
  • 60) 0,131 383 734 861 824 × 2 = 0 + 0,262 767 469 723 648;
  • 61) 0,262 767 469 723 648 × 2 = 0 + 0,525 534 939 447 296;
  • 62) 0,525 534 939 447 296 × 2 = 1 + 0,051 069 878 894 592;
  • 63) 0,051 069 878 894 592 × 2 = 0 + 0,102 139 757 789 184;
  • 64) 0,102 139 757 789 184 × 2 = 0 + 0,204 279 515 578 368;
  • 65) 0,204 279 515 578 368 × 2 = 0 + 0,408 559 031 156 736;
  • 66) 0,408 559 031 156 736 × 2 = 0 + 0,817 118 062 313 472;
  • 67) 0,817 118 062 313 472 × 2 = 1 + 0,634 236 124 626 944;
  • 68) 0,634 236 124 626 944 × 2 = 1 + 0,268 472 249 253 888;
  • 69) 0,268 472 249 253 888 × 2 = 0 + 0,536 944 498 507 776;
  • 70) 0,536 944 498 507 776 × 2 = 1 + 0,073 888 997 015 552;
  • 71) 0,073 888 997 015 552 × 2 = 0 + 0,147 777 994 031 104;
  • 72) 0,147 777 994 031 104 × 2 = 0 + 0,295 555 988 062 208;
  • 73) 0,295 555 988 062 208 × 2 = 0 + 0,591 111 976 124 416;
  • 74) 0,591 111 976 124 416 × 2 = 1 + 0,182 223 952 248 832;
  • 75) 0,182 223 952 248 832 × 2 = 0 + 0,364 447 904 497 664;
  • 76) 0,364 447 904 497 664 × 2 = 0 + 0,728 895 808 995 328;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 061 095 098(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 061 095 098(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 24 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 061 095 098(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100(2) × 20 =

1,0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100(2) × 2-24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -24

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-24 + 2(11-1) - 1 =

(-24 + 1 023)(10) =

999(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 999 : 2 = 499 + 1;
  • 499 : 2 = 249 + 1;
  • 249 : 2 = 124 + 1;
  • 124 : 2 = 62 + 0;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

999(10) =

011 1110 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100 =

0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 0111

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100


Numărul zecimal 0,000 000 061 095 098 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 0111 - 0000 0110 0110 0110 1100 0101 0100 1001 0110 0100 0011 0100 0100

» Scriere 0,000 000 061 095 074 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100