0,000 000 276 75 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 276 75(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 276 75(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 276 75.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 276 75 × 2 = 0 + 0,000 000 553 5;
  • 2) 0,000 000 553 5 × 2 = 0 + 0,000 001 107;
  • 3) 0,000 001 107 × 2 = 0 + 0,000 002 214;
  • 4) 0,000 002 214 × 2 = 0 + 0,000 004 428;
  • 5) 0,000 004 428 × 2 = 0 + 0,000 008 856;
  • 6) 0,000 008 856 × 2 = 0 + 0,000 017 712;
  • 7) 0,000 017 712 × 2 = 0 + 0,000 035 424;
  • 8) 0,000 035 424 × 2 = 0 + 0,000 070 848;
  • 9) 0,000 070 848 × 2 = 0 + 0,000 141 696;
  • 10) 0,000 141 696 × 2 = 0 + 0,000 283 392;
  • 11) 0,000 283 392 × 2 = 0 + 0,000 566 784;
  • 12) 0,000 566 784 × 2 = 0 + 0,001 133 568;
  • 13) 0,001 133 568 × 2 = 0 + 0,002 267 136;
  • 14) 0,002 267 136 × 2 = 0 + 0,004 534 272;
  • 15) 0,004 534 272 × 2 = 0 + 0,009 068 544;
  • 16) 0,009 068 544 × 2 = 0 + 0,018 137 088;
  • 17) 0,018 137 088 × 2 = 0 + 0,036 274 176;
  • 18) 0,036 274 176 × 2 = 0 + 0,072 548 352;
  • 19) 0,072 548 352 × 2 = 0 + 0,145 096 704;
  • 20) 0,145 096 704 × 2 = 0 + 0,290 193 408;
  • 21) 0,290 193 408 × 2 = 0 + 0,580 386 816;
  • 22) 0,580 386 816 × 2 = 1 + 0,160 773 632;
  • 23) 0,160 773 632 × 2 = 0 + 0,321 547 264;
  • 24) 0,321 547 264 × 2 = 0 + 0,643 094 528;
  • 25) 0,643 094 528 × 2 = 1 + 0,286 189 056;
  • 26) 0,286 189 056 × 2 = 0 + 0,572 378 112;
  • 27) 0,572 378 112 × 2 = 1 + 0,144 756 224;
  • 28) 0,144 756 224 × 2 = 0 + 0,289 512 448;
  • 29) 0,289 512 448 × 2 = 0 + 0,579 024 896;
  • 30) 0,579 024 896 × 2 = 1 + 0,158 049 792;
  • 31) 0,158 049 792 × 2 = 0 + 0,316 099 584;
  • 32) 0,316 099 584 × 2 = 0 + 0,632 199 168;
  • 33) 0,632 199 168 × 2 = 1 + 0,264 398 336;
  • 34) 0,264 398 336 × 2 = 0 + 0,528 796 672;
  • 35) 0,528 796 672 × 2 = 1 + 0,057 593 344;
  • 36) 0,057 593 344 × 2 = 0 + 0,115 186 688;
  • 37) 0,115 186 688 × 2 = 0 + 0,230 373 376;
  • 38) 0,230 373 376 × 2 = 0 + 0,460 746 752;
  • 39) 0,460 746 752 × 2 = 0 + 0,921 493 504;
  • 40) 0,921 493 504 × 2 = 1 + 0,842 987 008;
  • 41) 0,842 987 008 × 2 = 1 + 0,685 974 016;
  • 42) 0,685 974 016 × 2 = 1 + 0,371 948 032;
  • 43) 0,371 948 032 × 2 = 0 + 0,743 896 064;
  • 44) 0,743 896 064 × 2 = 1 + 0,487 792 128;
  • 45) 0,487 792 128 × 2 = 0 + 0,975 584 256;
  • 46) 0,975 584 256 × 2 = 1 + 0,951 168 512;
  • 47) 0,951 168 512 × 2 = 1 + 0,902 337 024;
  • 48) 0,902 337 024 × 2 = 1 + 0,804 674 048;
  • 49) 0,804 674 048 × 2 = 1 + 0,609 348 096;
  • 50) 0,609 348 096 × 2 = 1 + 0,218 696 192;
  • 51) 0,218 696 192 × 2 = 0 + 0,437 392 384;
  • 52) 0,437 392 384 × 2 = 0 + 0,874 784 768;
  • 53) 0,874 784 768 × 2 = 1 + 0,749 569 536;
  • 54) 0,749 569 536 × 2 = 1 + 0,499 139 072;
  • 55) 0,499 139 072 × 2 = 0 + 0,998 278 144;
  • 56) 0,998 278 144 × 2 = 1 + 0,996 556 288;
  • 57) 0,996 556 288 × 2 = 1 + 0,993 112 576;
  • 58) 0,993 112 576 × 2 = 1 + 0,986 225 152;
  • 59) 0,986 225 152 × 2 = 1 + 0,972 450 304;
  • 60) 0,972 450 304 × 2 = 1 + 0,944 900 608;
  • 61) 0,944 900 608 × 2 = 1 + 0,889 801 216;
  • 62) 0,889 801 216 × 2 = 1 + 0,779 602 432;
  • 63) 0,779 602 432 × 2 = 1 + 0,559 204 864;
  • 64) 0,559 204 864 × 2 = 1 + 0,118 409 728;
  • 65) 0,118 409 728 × 2 = 0 + 0,236 819 456;
  • 66) 0,236 819 456 × 2 = 0 + 0,473 638 912;
  • 67) 0,473 638 912 × 2 = 0 + 0,947 277 824;
  • 68) 0,947 277 824 × 2 = 1 + 0,894 555 648;
  • 69) 0,894 555 648 × 2 = 1 + 0,789 111 296;
  • 70) 0,789 111 296 × 2 = 1 + 0,578 222 592;
  • 71) 0,578 222 592 × 2 = 1 + 0,156 445 184;
  • 72) 0,156 445 184 × 2 = 0 + 0,312 890 368;
  • 73) 0,312 890 368 × 2 = 0 + 0,625 780 736;
  • 74) 0,625 780 736 × 2 = 1 + 0,251 561 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 276 75(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010 0100 1010 0001 1101 0111 1100 1101 1111 1111 0001 1110 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 276 75(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010 0100 1010 0001 1101 0111 1100 1101 1111 1111 0001 1110 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 276 75(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010 0100 1010 0001 1101 0111 1100 1101 1111 1111 0001 1110 01(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0100 1010 0100 1010 0001 1101 0111 1100 1101 1111 1111 0001 1110 01(2) × 20 =

1,0010 1001 0010 1000 0111 0101 1111 0011 0111 1111 1100 0111 1001(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1001 0010 1000 0111 0101 1111 0011 0111 1111 1100 0111 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1001 0010 1000 0111 0101 1111 0011 0111 1111 1100 0111 1001 =

0010 1001 0010 1000 0111 0101 1111 0011 0111 1111 1100 0111 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0010 1001 0010 1000 0111 0101 1111 0011 0111 1111 1100 0111 1001


Numărul zecimal 0,000 000 276 75 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0010 1001 0010 1000 0111 0101 1111 0011 0111 1111 1100 0111 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 000 277 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100