0,000 000 345 62 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 345 62(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 345 62(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 345 62.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 345 62 × 2 = 0 + 0,000 000 691 24;
  • 2) 0,000 000 691 24 × 2 = 0 + 0,000 001 382 48;
  • 3) 0,000 001 382 48 × 2 = 0 + 0,000 002 764 96;
  • 4) 0,000 002 764 96 × 2 = 0 + 0,000 005 529 92;
  • 5) 0,000 005 529 92 × 2 = 0 + 0,000 011 059 84;
  • 6) 0,000 011 059 84 × 2 = 0 + 0,000 022 119 68;
  • 7) 0,000 022 119 68 × 2 = 0 + 0,000 044 239 36;
  • 8) 0,000 044 239 36 × 2 = 0 + 0,000 088 478 72;
  • 9) 0,000 088 478 72 × 2 = 0 + 0,000 176 957 44;
  • 10) 0,000 176 957 44 × 2 = 0 + 0,000 353 914 88;
  • 11) 0,000 353 914 88 × 2 = 0 + 0,000 707 829 76;
  • 12) 0,000 707 829 76 × 2 = 0 + 0,001 415 659 52;
  • 13) 0,001 415 659 52 × 2 = 0 + 0,002 831 319 04;
  • 14) 0,002 831 319 04 × 2 = 0 + 0,005 662 638 08;
  • 15) 0,005 662 638 08 × 2 = 0 + 0,011 325 276 16;
  • 16) 0,011 325 276 16 × 2 = 0 + 0,022 650 552 32;
  • 17) 0,022 650 552 32 × 2 = 0 + 0,045 301 104 64;
  • 18) 0,045 301 104 64 × 2 = 0 + 0,090 602 209 28;
  • 19) 0,090 602 209 28 × 2 = 0 + 0,181 204 418 56;
  • 20) 0,181 204 418 56 × 2 = 0 + 0,362 408 837 12;
  • 21) 0,362 408 837 12 × 2 = 0 + 0,724 817 674 24;
  • 22) 0,724 817 674 24 × 2 = 1 + 0,449 635 348 48;
  • 23) 0,449 635 348 48 × 2 = 0 + 0,899 270 696 96;
  • 24) 0,899 270 696 96 × 2 = 1 + 0,798 541 393 92;
  • 25) 0,798 541 393 92 × 2 = 1 + 0,597 082 787 84;
  • 26) 0,597 082 787 84 × 2 = 1 + 0,194 165 575 68;
  • 27) 0,194 165 575 68 × 2 = 0 + 0,388 331 151 36;
  • 28) 0,388 331 151 36 × 2 = 0 + 0,776 662 302 72;
  • 29) 0,776 662 302 72 × 2 = 1 + 0,553 324 605 44;
  • 30) 0,553 324 605 44 × 2 = 1 + 0,106 649 210 88;
  • 31) 0,106 649 210 88 × 2 = 0 + 0,213 298 421 76;
  • 32) 0,213 298 421 76 × 2 = 0 + 0,426 596 843 52;
  • 33) 0,426 596 843 52 × 2 = 0 + 0,853 193 687 04;
  • 34) 0,853 193 687 04 × 2 = 1 + 0,706 387 374 08;
  • 35) 0,706 387 374 08 × 2 = 1 + 0,412 774 748 16;
  • 36) 0,412 774 748 16 × 2 = 0 + 0,825 549 496 32;
  • 37) 0,825 549 496 32 × 2 = 1 + 0,651 098 992 64;
  • 38) 0,651 098 992 64 × 2 = 1 + 0,302 197 985 28;
  • 39) 0,302 197 985 28 × 2 = 0 + 0,604 395 970 56;
  • 40) 0,604 395 970 56 × 2 = 1 + 0,208 791 941 12;
  • 41) 0,208 791 941 12 × 2 = 0 + 0,417 583 882 24;
  • 42) 0,417 583 882 24 × 2 = 0 + 0,835 167 764 48;
  • 43) 0,835 167 764 48 × 2 = 1 + 0,670 335 528 96;
  • 44) 0,670 335 528 96 × 2 = 1 + 0,340 671 057 92;
  • 45) 0,340 671 057 92 × 2 = 0 + 0,681 342 115 84;
  • 46) 0,681 342 115 84 × 2 = 1 + 0,362 684 231 68;
  • 47) 0,362 684 231 68 × 2 = 0 + 0,725 368 463 36;
  • 48) 0,725 368 463 36 × 2 = 1 + 0,450 736 926 72;
  • 49) 0,450 736 926 72 × 2 = 0 + 0,901 473 853 44;
  • 50) 0,901 473 853 44 × 2 = 1 + 0,802 947 706 88;
  • 51) 0,802 947 706 88 × 2 = 1 + 0,605 895 413 76;
  • 52) 0,605 895 413 76 × 2 = 1 + 0,211 790 827 52;
  • 53) 0,211 790 827 52 × 2 = 0 + 0,423 581 655 04;
  • 54) 0,423 581 655 04 × 2 = 0 + 0,847 163 310 08;
  • 55) 0,847 163 310 08 × 2 = 1 + 0,694 326 620 16;
  • 56) 0,694 326 620 16 × 2 = 1 + 0,388 653 240 32;
  • 57) 0,388 653 240 32 × 2 = 0 + 0,777 306 480 64;
  • 58) 0,777 306 480 64 × 2 = 1 + 0,554 612 961 28;
  • 59) 0,554 612 961 28 × 2 = 1 + 0,109 225 922 56;
  • 60) 0,109 225 922 56 × 2 = 0 + 0,218 451 845 12;
  • 61) 0,218 451 845 12 × 2 = 0 + 0,436 903 690 24;
  • 62) 0,436 903 690 24 × 2 = 0 + 0,873 807 380 48;
  • 63) 0,873 807 380 48 × 2 = 1 + 0,747 614 760 96;
  • 64) 0,747 614 760 96 × 2 = 1 + 0,495 229 521 92;
  • 65) 0,495 229 521 92 × 2 = 0 + 0,990 459 043 84;
  • 66) 0,990 459 043 84 × 2 = 1 + 0,980 918 087 68;
  • 67) 0,980 918 087 68 × 2 = 1 + 0,961 836 175 36;
  • 68) 0,961 836 175 36 × 2 = 1 + 0,923 672 350 72;
  • 69) 0,923 672 350 72 × 2 = 1 + 0,847 344 701 44;
  • 70) 0,847 344 701 44 × 2 = 1 + 0,694 689 402 88;
  • 71) 0,694 689 402 88 × 2 = 1 + 0,389 378 805 76;
  • 72) 0,389 378 805 76 × 2 = 0 + 0,778 757 611 52;
  • 73) 0,778 757 611 52 × 2 = 1 + 0,557 515 223 04;
  • 74) 0,557 515 223 04 × 2 = 1 + 0,115 030 446 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 345 62(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1100 1100 0110 1101 0011 0101 0111 0011 0110 0011 0111 1110 11(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 345 62(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1100 1100 0110 1101 0011 0101 0111 0011 0110 0011 0111 1110 11(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 345 62(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1100 1100 0110 1101 0011 0101 0111 0011 0110 0011 0111 1110 11(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1100 1100 0110 1101 0011 0101 0111 0011 0110 0011 0111 1110 11(2) × 20 =

1,0111 0011 0001 1011 0100 1101 0101 1100 1101 1000 1101 1111 1011(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0011 0001 1011 0100 1101 0101 1100 1101 1000 1101 1111 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0011 0001 1011 0100 1101 0101 1100 1101 1000 1101 1111 1011 =

0111 0011 0001 1011 0100 1101 0101 1100 1101 1000 1101 1111 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0011 0001 1011 0100 1101 0101 1100 1101 1000 1101 1111 1011


Numărul zecimal 0,000 000 345 62 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0011 0001 1011 0100 1101 0101 1100 1101 1000 1101 1111 1011

Distribuie

» Scriere 0,000 000 345 72 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100