0,000 000 346 76 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 346 76(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 346 76(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 346 76.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 346 76 × 2 = 0 + 0,000 000 693 52;
  • 2) 0,000 000 693 52 × 2 = 0 + 0,000 001 387 04;
  • 3) 0,000 001 387 04 × 2 = 0 + 0,000 002 774 08;
  • 4) 0,000 002 774 08 × 2 = 0 + 0,000 005 548 16;
  • 5) 0,000 005 548 16 × 2 = 0 + 0,000 011 096 32;
  • 6) 0,000 011 096 32 × 2 = 0 + 0,000 022 192 64;
  • 7) 0,000 022 192 64 × 2 = 0 + 0,000 044 385 28;
  • 8) 0,000 044 385 28 × 2 = 0 + 0,000 088 770 56;
  • 9) 0,000 088 770 56 × 2 = 0 + 0,000 177 541 12;
  • 10) 0,000 177 541 12 × 2 = 0 + 0,000 355 082 24;
  • 11) 0,000 355 082 24 × 2 = 0 + 0,000 710 164 48;
  • 12) 0,000 710 164 48 × 2 = 0 + 0,001 420 328 96;
  • 13) 0,001 420 328 96 × 2 = 0 + 0,002 840 657 92;
  • 14) 0,002 840 657 92 × 2 = 0 + 0,005 681 315 84;
  • 15) 0,005 681 315 84 × 2 = 0 + 0,011 362 631 68;
  • 16) 0,011 362 631 68 × 2 = 0 + 0,022 725 263 36;
  • 17) 0,022 725 263 36 × 2 = 0 + 0,045 450 526 72;
  • 18) 0,045 450 526 72 × 2 = 0 + 0,090 901 053 44;
  • 19) 0,090 901 053 44 × 2 = 0 + 0,181 802 106 88;
  • 20) 0,181 802 106 88 × 2 = 0 + 0,363 604 213 76;
  • 21) 0,363 604 213 76 × 2 = 0 + 0,727 208 427 52;
  • 22) 0,727 208 427 52 × 2 = 1 + 0,454 416 855 04;
  • 23) 0,454 416 855 04 × 2 = 0 + 0,908 833 710 08;
  • 24) 0,908 833 710 08 × 2 = 1 + 0,817 667 420 16;
  • 25) 0,817 667 420 16 × 2 = 1 + 0,635 334 840 32;
  • 26) 0,635 334 840 32 × 2 = 1 + 0,270 669 680 64;
  • 27) 0,270 669 680 64 × 2 = 0 + 0,541 339 361 28;
  • 28) 0,541 339 361 28 × 2 = 1 + 0,082 678 722 56;
  • 29) 0,082 678 722 56 × 2 = 0 + 0,165 357 445 12;
  • 30) 0,165 357 445 12 × 2 = 0 + 0,330 714 890 24;
  • 31) 0,330 714 890 24 × 2 = 0 + 0,661 429 780 48;
  • 32) 0,661 429 780 48 × 2 = 1 + 0,322 859 560 96;
  • 33) 0,322 859 560 96 × 2 = 0 + 0,645 719 121 92;
  • 34) 0,645 719 121 92 × 2 = 1 + 0,291 438 243 84;
  • 35) 0,291 438 243 84 × 2 = 0 + 0,582 876 487 68;
  • 36) 0,582 876 487 68 × 2 = 1 + 0,165 752 975 36;
  • 37) 0,165 752 975 36 × 2 = 0 + 0,331 505 950 72;
  • 38) 0,331 505 950 72 × 2 = 0 + 0,663 011 901 44;
  • 39) 0,663 011 901 44 × 2 = 1 + 0,326 023 802 88;
  • 40) 0,326 023 802 88 × 2 = 0 + 0,652 047 605 76;
  • 41) 0,652 047 605 76 × 2 = 1 + 0,304 095 211 52;
  • 42) 0,304 095 211 52 × 2 = 0 + 0,608 190 423 04;
  • 43) 0,608 190 423 04 × 2 = 1 + 0,216 380 846 08;
  • 44) 0,216 380 846 08 × 2 = 0 + 0,432 761 692 16;
  • 45) 0,432 761 692 16 × 2 = 0 + 0,865 523 384 32;
  • 46) 0,865 523 384 32 × 2 = 1 + 0,731 046 768 64;
  • 47) 0,731 046 768 64 × 2 = 1 + 0,462 093 537 28;
  • 48) 0,462 093 537 28 × 2 = 0 + 0,924 187 074 56;
  • 49) 0,924 187 074 56 × 2 = 1 + 0,848 374 149 12;
  • 50) 0,848 374 149 12 × 2 = 1 + 0,696 748 298 24;
  • 51) 0,696 748 298 24 × 2 = 1 + 0,393 496 596 48;
  • 52) 0,393 496 596 48 × 2 = 0 + 0,786 993 192 96;
  • 53) 0,786 993 192 96 × 2 = 1 + 0,573 986 385 92;
  • 54) 0,573 986 385 92 × 2 = 1 + 0,147 972 771 84;
  • 55) 0,147 972 771 84 × 2 = 0 + 0,295 945 543 68;
  • 56) 0,295 945 543 68 × 2 = 0 + 0,591 891 087 36;
  • 57) 0,591 891 087 36 × 2 = 1 + 0,183 782 174 72;
  • 58) 0,183 782 174 72 × 2 = 0 + 0,367 564 349 44;
  • 59) 0,367 564 349 44 × 2 = 0 + 0,735 128 698 88;
  • 60) 0,735 128 698 88 × 2 = 1 + 0,470 257 397 76;
  • 61) 0,470 257 397 76 × 2 = 0 + 0,940 514 795 52;
  • 62) 0,940 514 795 52 × 2 = 1 + 0,881 029 591 04;
  • 63) 0,881 029 591 04 × 2 = 1 + 0,762 059 182 08;
  • 64) 0,762 059 182 08 × 2 = 1 + 0,524 118 364 16;
  • 65) 0,524 118 364 16 × 2 = 1 + 0,048 236 728 32;
  • 66) 0,048 236 728 32 × 2 = 0 + 0,096 473 456 64;
  • 67) 0,096 473 456 64 × 2 = 0 + 0,192 946 913 28;
  • 68) 0,192 946 913 28 × 2 = 0 + 0,385 893 826 56;
  • 69) 0,385 893 826 56 × 2 = 0 + 0,771 787 653 12;
  • 70) 0,771 787 653 12 × 2 = 1 + 0,543 575 306 24;
  • 71) 0,543 575 306 24 × 2 = 1 + 0,087 150 612 48;
  • 72) 0,087 150 612 48 × 2 = 0 + 0,174 301 224 96;
  • 73) 0,174 301 224 96 × 2 = 0 + 0,348 602 449 92;
  • 74) 0,348 602 449 92 × 2 = 0 + 0,697 204 899 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 346 76(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0001 0101 0010 1010 0110 1110 1100 1001 0111 1000 0110 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 346 76(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0001 0101 0010 1010 0110 1110 1100 1001 0111 1000 0110 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 346 76(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0001 0101 0010 1010 0110 1110 1100 1001 0111 1000 0110 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0001 0101 0010 1010 0110 1110 1100 1001 0111 1000 0110 00(2) × 20 =

1,0111 0100 0101 0100 1010 1001 1011 1011 0010 0101 1110 0001 1000(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 0101 0100 1010 1001 1011 1011 0010 0101 1110 0001 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 0101 0100 1010 1001 1011 1011 0010 0101 1110 0001 1000 =

0111 0100 0101 0100 1010 1001 1011 1011 0010 0101 1110 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 0101 0100 1010 1001 1011 1011 0010 0101 1110 0001 1000


Numărul zecimal 0,000 000 346 76 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0100 0101 0100 1010 1001 1011 1011 0010 0101 1110 0001 1000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 345 87 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100