0,000 000 347 11 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 347 11(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 347 11(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 347 11.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 347 11 × 2 = 0 + 0,000 000 694 22;
  • 2) 0,000 000 694 22 × 2 = 0 + 0,000 001 388 44;
  • 3) 0,000 001 388 44 × 2 = 0 + 0,000 002 776 88;
  • 4) 0,000 002 776 88 × 2 = 0 + 0,000 005 553 76;
  • 5) 0,000 005 553 76 × 2 = 0 + 0,000 011 107 52;
  • 6) 0,000 011 107 52 × 2 = 0 + 0,000 022 215 04;
  • 7) 0,000 022 215 04 × 2 = 0 + 0,000 044 430 08;
  • 8) 0,000 044 430 08 × 2 = 0 + 0,000 088 860 16;
  • 9) 0,000 088 860 16 × 2 = 0 + 0,000 177 720 32;
  • 10) 0,000 177 720 32 × 2 = 0 + 0,000 355 440 64;
  • 11) 0,000 355 440 64 × 2 = 0 + 0,000 710 881 28;
  • 12) 0,000 710 881 28 × 2 = 0 + 0,001 421 762 56;
  • 13) 0,001 421 762 56 × 2 = 0 + 0,002 843 525 12;
  • 14) 0,002 843 525 12 × 2 = 0 + 0,005 687 050 24;
  • 15) 0,005 687 050 24 × 2 = 0 + 0,011 374 100 48;
  • 16) 0,011 374 100 48 × 2 = 0 + 0,022 748 200 96;
  • 17) 0,022 748 200 96 × 2 = 0 + 0,045 496 401 92;
  • 18) 0,045 496 401 92 × 2 = 0 + 0,090 992 803 84;
  • 19) 0,090 992 803 84 × 2 = 0 + 0,181 985 607 68;
  • 20) 0,181 985 607 68 × 2 = 0 + 0,363 971 215 36;
  • 21) 0,363 971 215 36 × 2 = 0 + 0,727 942 430 72;
  • 22) 0,727 942 430 72 × 2 = 1 + 0,455 884 861 44;
  • 23) 0,455 884 861 44 × 2 = 0 + 0,911 769 722 88;
  • 24) 0,911 769 722 88 × 2 = 1 + 0,823 539 445 76;
  • 25) 0,823 539 445 76 × 2 = 1 + 0,647 078 891 52;
  • 26) 0,647 078 891 52 × 2 = 1 + 0,294 157 783 04;
  • 27) 0,294 157 783 04 × 2 = 0 + 0,588 315 566 08;
  • 28) 0,588 315 566 08 × 2 = 1 + 0,176 631 132 16;
  • 29) 0,176 631 132 16 × 2 = 0 + 0,353 262 264 32;
  • 30) 0,353 262 264 32 × 2 = 0 + 0,706 524 528 64;
  • 31) 0,706 524 528 64 × 2 = 1 + 0,413 049 057 28;
  • 32) 0,413 049 057 28 × 2 = 0 + 0,826 098 114 56;
  • 33) 0,826 098 114 56 × 2 = 1 + 0,652 196 229 12;
  • 34) 0,652 196 229 12 × 2 = 1 + 0,304 392 458 24;
  • 35) 0,304 392 458 24 × 2 = 0 + 0,608 784 916 48;
  • 36) 0,608 784 916 48 × 2 = 1 + 0,217 569 832 96;
  • 37) 0,217 569 832 96 × 2 = 0 + 0,435 139 665 92;
  • 38) 0,435 139 665 92 × 2 = 0 + 0,870 279 331 84;
  • 39) 0,870 279 331 84 × 2 = 1 + 0,740 558 663 68;
  • 40) 0,740 558 663 68 × 2 = 1 + 0,481 117 327 36;
  • 41) 0,481 117 327 36 × 2 = 0 + 0,962 234 654 72;
  • 42) 0,962 234 654 72 × 2 = 1 + 0,924 469 309 44;
  • 43) 0,924 469 309 44 × 2 = 1 + 0,848 938 618 88;
  • 44) 0,848 938 618 88 × 2 = 1 + 0,697 877 237 76;
  • 45) 0,697 877 237 76 × 2 = 1 + 0,395 754 475 52;
  • 46) 0,395 754 475 52 × 2 = 0 + 0,791 508 951 04;
  • 47) 0,791 508 951 04 × 2 = 1 + 0,583 017 902 08;
  • 48) 0,583 017 902 08 × 2 = 1 + 0,166 035 804 16;
  • 49) 0,166 035 804 16 × 2 = 0 + 0,332 071 608 32;
  • 50) 0,332 071 608 32 × 2 = 0 + 0,664 143 216 64;
  • 51) 0,664 143 216 64 × 2 = 1 + 0,328 286 433 28;
  • 52) 0,328 286 433 28 × 2 = 0 + 0,656 572 866 56;
  • 53) 0,656 572 866 56 × 2 = 1 + 0,313 145 733 12;
  • 54) 0,313 145 733 12 × 2 = 0 + 0,626 291 466 24;
  • 55) 0,626 291 466 24 × 2 = 1 + 0,252 582 932 48;
  • 56) 0,252 582 932 48 × 2 = 0 + 0,505 165 864 96;
  • 57) 0,505 165 864 96 × 2 = 1 + 0,010 331 729 92;
  • 58) 0,010 331 729 92 × 2 = 0 + 0,020 663 459 84;
  • 59) 0,020 663 459 84 × 2 = 0 + 0,041 326 919 68;
  • 60) 0,041 326 919 68 × 2 = 0 + 0,082 653 839 36;
  • 61) 0,082 653 839 36 × 2 = 0 + 0,165 307 678 72;
  • 62) 0,165 307 678 72 × 2 = 0 + 0,330 615 357 44;
  • 63) 0,330 615 357 44 × 2 = 0 + 0,661 230 714 88;
  • 64) 0,661 230 714 88 × 2 = 1 + 0,322 461 429 76;
  • 65) 0,322 461 429 76 × 2 = 0 + 0,644 922 859 52;
  • 66) 0,644 922 859 52 × 2 = 1 + 0,289 845 719 04;
  • 67) 0,289 845 719 04 × 2 = 0 + 0,579 691 438 08;
  • 68) 0,579 691 438 08 × 2 = 1 + 0,159 382 876 16;
  • 69) 0,159 382 876 16 × 2 = 0 + 0,318 765 752 32;
  • 70) 0,318 765 752 32 × 2 = 0 + 0,637 531 504 64;
  • 71) 0,637 531 504 64 × 2 = 1 + 0,275 063 009 28;
  • 72) 0,275 063 009 28 × 2 = 0 + 0,550 126 018 56;
  • 73) 0,550 126 018 56 × 2 = 1 + 0,100 252 037 12;
  • 74) 0,100 252 037 12 × 2 = 0 + 0,200 504 074 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 347 11(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0010 1101 0011 0111 1011 0010 1010 1000 0001 0101 0010 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 347 11(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0010 1101 0011 0111 1011 0010 1010 1000 0001 0101 0010 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 347 11(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0010 1101 0011 0111 1011 0010 1010 1000 0001 0101 0010 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0010 1101 0011 0111 1011 0010 1010 1000 0001 0101 0010 10(2) × 20 =

1,0111 0100 1011 0100 1101 1110 1100 1010 1010 0000 0101 0100 1010(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 1011 0100 1101 1110 1100 1010 1010 0000 0101 0100 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 1011 0100 1101 1110 1100 1010 1010 0000 0101 0100 1010 =

0111 0100 1011 0100 1101 1110 1100 1010 1010 0000 0101 0100 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 1011 0100 1101 1110 1100 1010 1010 0000 0101 0100 1010


Numărul zecimal 0,000 000 347 11 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0100 1011 0100 1101 1110 1100 1010 1010 0000 0101 0100 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 346 98 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100