0,000 000 347 201 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 347 201(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 347 201(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 347 201.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 347 201 × 2 = 0 + 0,000 000 694 402;
  • 2) 0,000 000 694 402 × 2 = 0 + 0,000 001 388 804;
  • 3) 0,000 001 388 804 × 2 = 0 + 0,000 002 777 608;
  • 4) 0,000 002 777 608 × 2 = 0 + 0,000 005 555 216;
  • 5) 0,000 005 555 216 × 2 = 0 + 0,000 011 110 432;
  • 6) 0,000 011 110 432 × 2 = 0 + 0,000 022 220 864;
  • 7) 0,000 022 220 864 × 2 = 0 + 0,000 044 441 728;
  • 8) 0,000 044 441 728 × 2 = 0 + 0,000 088 883 456;
  • 9) 0,000 088 883 456 × 2 = 0 + 0,000 177 766 912;
  • 10) 0,000 177 766 912 × 2 = 0 + 0,000 355 533 824;
  • 11) 0,000 355 533 824 × 2 = 0 + 0,000 711 067 648;
  • 12) 0,000 711 067 648 × 2 = 0 + 0,001 422 135 296;
  • 13) 0,001 422 135 296 × 2 = 0 + 0,002 844 270 592;
  • 14) 0,002 844 270 592 × 2 = 0 + 0,005 688 541 184;
  • 15) 0,005 688 541 184 × 2 = 0 + 0,011 377 082 368;
  • 16) 0,011 377 082 368 × 2 = 0 + 0,022 754 164 736;
  • 17) 0,022 754 164 736 × 2 = 0 + 0,045 508 329 472;
  • 18) 0,045 508 329 472 × 2 = 0 + 0,091 016 658 944;
  • 19) 0,091 016 658 944 × 2 = 0 + 0,182 033 317 888;
  • 20) 0,182 033 317 888 × 2 = 0 + 0,364 066 635 776;
  • 21) 0,364 066 635 776 × 2 = 0 + 0,728 133 271 552;
  • 22) 0,728 133 271 552 × 2 = 1 + 0,456 266 543 104;
  • 23) 0,456 266 543 104 × 2 = 0 + 0,912 533 086 208;
  • 24) 0,912 533 086 208 × 2 = 1 + 0,825 066 172 416;
  • 25) 0,825 066 172 416 × 2 = 1 + 0,650 132 344 832;
  • 26) 0,650 132 344 832 × 2 = 1 + 0,300 264 689 664;
  • 27) 0,300 264 689 664 × 2 = 0 + 0,600 529 379 328;
  • 28) 0,600 529 379 328 × 2 = 1 + 0,201 058 758 656;
  • 29) 0,201 058 758 656 × 2 = 0 + 0,402 117 517 312;
  • 30) 0,402 117 517 312 × 2 = 0 + 0,804 235 034 624;
  • 31) 0,804 235 034 624 × 2 = 1 + 0,608 470 069 248;
  • 32) 0,608 470 069 248 × 2 = 1 + 0,216 940 138 496;
  • 33) 0,216 940 138 496 × 2 = 0 + 0,433 880 276 992;
  • 34) 0,433 880 276 992 × 2 = 0 + 0,867 760 553 984;
  • 35) 0,867 760 553 984 × 2 = 1 + 0,735 521 107 968;
  • 36) 0,735 521 107 968 × 2 = 1 + 0,471 042 215 936;
  • 37) 0,471 042 215 936 × 2 = 0 + 0,942 084 431 872;
  • 38) 0,942 084 431 872 × 2 = 1 + 0,884 168 863 744;
  • 39) 0,884 168 863 744 × 2 = 1 + 0,768 337 727 488;
  • 40) 0,768 337 727 488 × 2 = 1 + 0,536 675 454 976;
  • 41) 0,536 675 454 976 × 2 = 1 + 0,073 350 909 952;
  • 42) 0,073 350 909 952 × 2 = 0 + 0,146 701 819 904;
  • 43) 0,146 701 819 904 × 2 = 0 + 0,293 403 639 808;
  • 44) 0,293 403 639 808 × 2 = 0 + 0,586 807 279 616;
  • 45) 0,586 807 279 616 × 2 = 1 + 0,173 614 559 232;
  • 46) 0,173 614 559 232 × 2 = 0 + 0,347 229 118 464;
  • 47) 0,347 229 118 464 × 2 = 0 + 0,694 458 236 928;
  • 48) 0,694 458 236 928 × 2 = 1 + 0,388 916 473 856;
  • 49) 0,388 916 473 856 × 2 = 0 + 0,777 832 947 712;
  • 50) 0,777 832 947 712 × 2 = 1 + 0,555 665 895 424;
  • 51) 0,555 665 895 424 × 2 = 1 + 0,111 331 790 848;
  • 52) 0,111 331 790 848 × 2 = 0 + 0,222 663 581 696;
  • 53) 0,222 663 581 696 × 2 = 0 + 0,445 327 163 392;
  • 54) 0,445 327 163 392 × 2 = 0 + 0,890 654 326 784;
  • 55) 0,890 654 326 784 × 2 = 1 + 0,781 308 653 568;
  • 56) 0,781 308 653 568 × 2 = 1 + 0,562 617 307 136;
  • 57) 0,562 617 307 136 × 2 = 1 + 0,125 234 614 272;
  • 58) 0,125 234 614 272 × 2 = 0 + 0,250 469 228 544;
  • 59) 0,250 469 228 544 × 2 = 0 + 0,500 938 457 088;
  • 60) 0,500 938 457 088 × 2 = 1 + 0,001 876 914 176;
  • 61) 0,001 876 914 176 × 2 = 0 + 0,003 753 828 352;
  • 62) 0,003 753 828 352 × 2 = 0 + 0,007 507 656 704;
  • 63) 0,007 507 656 704 × 2 = 0 + 0,015 015 313 408;
  • 64) 0,015 015 313 408 × 2 = 0 + 0,030 030 626 816;
  • 65) 0,030 030 626 816 × 2 = 0 + 0,060 061 253 632;
  • 66) 0,060 061 253 632 × 2 = 0 + 0,120 122 507 264;
  • 67) 0,120 122 507 264 × 2 = 0 + 0,240 245 014 528;
  • 68) 0,240 245 014 528 × 2 = 0 + 0,480 490 029 056;
  • 69) 0,480 490 029 056 × 2 = 0 + 0,960 980 058 112;
  • 70) 0,960 980 058 112 × 2 = 1 + 0,921 960 116 224;
  • 71) 0,921 960 116 224 × 2 = 1 + 0,843 920 232 448;
  • 72) 0,843 920 232 448 × 2 = 1 + 0,687 840 464 896;
  • 73) 0,687 840 464 896 × 2 = 1 + 0,375 680 929 792;
  • 74) 0,375 680 929 792 × 2 = 0 + 0,751 361 859 584;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 347 201(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0011 0111 1000 1001 0110 0011 1001 0000 0000 0111 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 347 201(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0011 0111 1000 1001 0110 0011 1001 0000 0000 0111 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 347 201(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0011 0111 1000 1001 0110 0011 1001 0000 0000 0111 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0011 0111 1000 1001 0110 0011 1001 0000 0000 0111 10(2) × 20 =

1,0111 0100 1100 1101 1110 0010 0101 1000 1110 0100 0000 0001 1110(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 1100 1101 1110 0010 0101 1000 1110 0100 0000 0001 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 1100 1101 1110 0010 0101 1000 1110 0100 0000 0001 1110 =

0111 0100 1100 1101 1110 0010 0101 1000 1110 0100 0000 0001 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 1100 1101 1110 0010 0101 1000 1110 0100 0000 0001 1110


Numărul zecimal 0,000 000 347 201 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0100 1100 1101 1110 0010 0101 1000 1110 0100 0000 0001 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 347 11 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100