0,000 000 347 21 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 347 21(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 347 21(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 347 21.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 347 21 × 2 = 0 + 0,000 000 694 42;
  • 2) 0,000 000 694 42 × 2 = 0 + 0,000 001 388 84;
  • 3) 0,000 001 388 84 × 2 = 0 + 0,000 002 777 68;
  • 4) 0,000 002 777 68 × 2 = 0 + 0,000 005 555 36;
  • 5) 0,000 005 555 36 × 2 = 0 + 0,000 011 110 72;
  • 6) 0,000 011 110 72 × 2 = 0 + 0,000 022 221 44;
  • 7) 0,000 022 221 44 × 2 = 0 + 0,000 044 442 88;
  • 8) 0,000 044 442 88 × 2 = 0 + 0,000 088 885 76;
  • 9) 0,000 088 885 76 × 2 = 0 + 0,000 177 771 52;
  • 10) 0,000 177 771 52 × 2 = 0 + 0,000 355 543 04;
  • 11) 0,000 355 543 04 × 2 = 0 + 0,000 711 086 08;
  • 12) 0,000 711 086 08 × 2 = 0 + 0,001 422 172 16;
  • 13) 0,001 422 172 16 × 2 = 0 + 0,002 844 344 32;
  • 14) 0,002 844 344 32 × 2 = 0 + 0,005 688 688 64;
  • 15) 0,005 688 688 64 × 2 = 0 + 0,011 377 377 28;
  • 16) 0,011 377 377 28 × 2 = 0 + 0,022 754 754 56;
  • 17) 0,022 754 754 56 × 2 = 0 + 0,045 509 509 12;
  • 18) 0,045 509 509 12 × 2 = 0 + 0,091 019 018 24;
  • 19) 0,091 019 018 24 × 2 = 0 + 0,182 038 036 48;
  • 20) 0,182 038 036 48 × 2 = 0 + 0,364 076 072 96;
  • 21) 0,364 076 072 96 × 2 = 0 + 0,728 152 145 92;
  • 22) 0,728 152 145 92 × 2 = 1 + 0,456 304 291 84;
  • 23) 0,456 304 291 84 × 2 = 0 + 0,912 608 583 68;
  • 24) 0,912 608 583 68 × 2 = 1 + 0,825 217 167 36;
  • 25) 0,825 217 167 36 × 2 = 1 + 0,650 434 334 72;
  • 26) 0,650 434 334 72 × 2 = 1 + 0,300 868 669 44;
  • 27) 0,300 868 669 44 × 2 = 0 + 0,601 737 338 88;
  • 28) 0,601 737 338 88 × 2 = 1 + 0,203 474 677 76;
  • 29) 0,203 474 677 76 × 2 = 0 + 0,406 949 355 52;
  • 30) 0,406 949 355 52 × 2 = 0 + 0,813 898 711 04;
  • 31) 0,813 898 711 04 × 2 = 1 + 0,627 797 422 08;
  • 32) 0,627 797 422 08 × 2 = 1 + 0,255 594 844 16;
  • 33) 0,255 594 844 16 × 2 = 0 + 0,511 189 688 32;
  • 34) 0,511 189 688 32 × 2 = 1 + 0,022 379 376 64;
  • 35) 0,022 379 376 64 × 2 = 0 + 0,044 758 753 28;
  • 36) 0,044 758 753 28 × 2 = 0 + 0,089 517 506 56;
  • 37) 0,089 517 506 56 × 2 = 0 + 0,179 035 013 12;
  • 38) 0,179 035 013 12 × 2 = 0 + 0,358 070 026 24;
  • 39) 0,358 070 026 24 × 2 = 0 + 0,716 140 052 48;
  • 40) 0,716 140 052 48 × 2 = 1 + 0,432 280 104 96;
  • 41) 0,432 280 104 96 × 2 = 0 + 0,864 560 209 92;
  • 42) 0,864 560 209 92 × 2 = 1 + 0,729 120 419 84;
  • 43) 0,729 120 419 84 × 2 = 1 + 0,458 240 839 68;
  • 44) 0,458 240 839 68 × 2 = 0 + 0,916 481 679 36;
  • 45) 0,916 481 679 36 × 2 = 1 + 0,832 963 358 72;
  • 46) 0,832 963 358 72 × 2 = 1 + 0,665 926 717 44;
  • 47) 0,665 926 717 44 × 2 = 1 + 0,331 853 434 88;
  • 48) 0,331 853 434 88 × 2 = 0 + 0,663 706 869 76;
  • 49) 0,663 706 869 76 × 2 = 1 + 0,327 413 739 52;
  • 50) 0,327 413 739 52 × 2 = 0 + 0,654 827 479 04;
  • 51) 0,654 827 479 04 × 2 = 1 + 0,309 654 958 08;
  • 52) 0,309 654 958 08 × 2 = 0 + 0,619 309 916 16;
  • 53) 0,619 309 916 16 × 2 = 1 + 0,238 619 832 32;
  • 54) 0,238 619 832 32 × 2 = 0 + 0,477 239 664 64;
  • 55) 0,477 239 664 64 × 2 = 0 + 0,954 479 329 28;
  • 56) 0,954 479 329 28 × 2 = 1 + 0,908 958 658 56;
  • 57) 0,908 958 658 56 × 2 = 1 + 0,817 917 317 12;
  • 58) 0,817 917 317 12 × 2 = 1 + 0,635 834 634 24;
  • 59) 0,635 834 634 24 × 2 = 1 + 0,271 669 268 48;
  • 60) 0,271 669 268 48 × 2 = 0 + 0,543 338 536 96;
  • 61) 0,543 338 536 96 × 2 = 1 + 0,086 677 073 92;
  • 62) 0,086 677 073 92 × 2 = 0 + 0,173 354 147 84;
  • 63) 0,173 354 147 84 × 2 = 0 + 0,346 708 295 68;
  • 64) 0,346 708 295 68 × 2 = 0 + 0,693 416 591 36;
  • 65) 0,693 416 591 36 × 2 = 1 + 0,386 833 182 72;
  • 66) 0,386 833 182 72 × 2 = 0 + 0,773 666 365 44;
  • 67) 0,773 666 365 44 × 2 = 1 + 0,547 332 730 88;
  • 68) 0,547 332 730 88 × 2 = 1 + 0,094 665 461 76;
  • 69) 0,094 665 461 76 × 2 = 0 + 0,189 330 923 52;
  • 70) 0,189 330 923 52 × 2 = 0 + 0,378 661 847 04;
  • 71) 0,378 661 847 04 × 2 = 0 + 0,757 323 694 08;
  • 72) 0,757 323 694 08 × 2 = 1 + 0,514 647 388 16;
  • 73) 0,514 647 388 16 × 2 = 1 + 0,029 294 776 32;
  • 74) 0,029 294 776 32 × 2 = 0 + 0,058 589 552 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 347 21(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0100 0001 0110 1110 1010 1001 1110 1000 1011 0001 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 347 21(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0100 0001 0110 1110 1010 1001 1110 1000 1011 0001 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 347 21(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0100 0001 0110 1110 1010 1001 1110 1000 1011 0001 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 0100 0001 0110 1110 1010 1001 1110 1000 1011 0001 10(2) × 20 =

1,0111 0100 1101 0000 0101 1011 1010 1010 0111 1010 0010 1100 0110(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 1101 0000 0101 1011 1010 1010 0111 1010 0010 1100 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 1101 0000 0101 1011 1010 1010 0111 1010 0010 1100 0110 =

0111 0100 1101 0000 0101 1011 1010 1010 0111 1010 0010 1100 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 1101 0000 0101 1011 1010 1010 0111 1010 0010 1100 0110


Numărul zecimal 0,000 000 347 21 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0100 1101 0000 0101 1011 1010 1010 0111 1010 0010 1100 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 346 96 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100