0,000 000 347 328 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 347 328(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 347 328(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 347 328.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 347 328 × 2 = 0 + 0,000 000 694 656;
  • 2) 0,000 000 694 656 × 2 = 0 + 0,000 001 389 312;
  • 3) 0,000 001 389 312 × 2 = 0 + 0,000 002 778 624;
  • 4) 0,000 002 778 624 × 2 = 0 + 0,000 005 557 248;
  • 5) 0,000 005 557 248 × 2 = 0 + 0,000 011 114 496;
  • 6) 0,000 011 114 496 × 2 = 0 + 0,000 022 228 992;
  • 7) 0,000 022 228 992 × 2 = 0 + 0,000 044 457 984;
  • 8) 0,000 044 457 984 × 2 = 0 + 0,000 088 915 968;
  • 9) 0,000 088 915 968 × 2 = 0 + 0,000 177 831 936;
  • 10) 0,000 177 831 936 × 2 = 0 + 0,000 355 663 872;
  • 11) 0,000 355 663 872 × 2 = 0 + 0,000 711 327 744;
  • 12) 0,000 711 327 744 × 2 = 0 + 0,001 422 655 488;
  • 13) 0,001 422 655 488 × 2 = 0 + 0,002 845 310 976;
  • 14) 0,002 845 310 976 × 2 = 0 + 0,005 690 621 952;
  • 15) 0,005 690 621 952 × 2 = 0 + 0,011 381 243 904;
  • 16) 0,011 381 243 904 × 2 = 0 + 0,022 762 487 808;
  • 17) 0,022 762 487 808 × 2 = 0 + 0,045 524 975 616;
  • 18) 0,045 524 975 616 × 2 = 0 + 0,091 049 951 232;
  • 19) 0,091 049 951 232 × 2 = 0 + 0,182 099 902 464;
  • 20) 0,182 099 902 464 × 2 = 0 + 0,364 199 804 928;
  • 21) 0,364 199 804 928 × 2 = 0 + 0,728 399 609 856;
  • 22) 0,728 399 609 856 × 2 = 1 + 0,456 799 219 712;
  • 23) 0,456 799 219 712 × 2 = 0 + 0,913 598 439 424;
  • 24) 0,913 598 439 424 × 2 = 1 + 0,827 196 878 848;
  • 25) 0,827 196 878 848 × 2 = 1 + 0,654 393 757 696;
  • 26) 0,654 393 757 696 × 2 = 1 + 0,308 787 515 392;
  • 27) 0,308 787 515 392 × 2 = 0 + 0,617 575 030 784;
  • 28) 0,617 575 030 784 × 2 = 1 + 0,235 150 061 568;
  • 29) 0,235 150 061 568 × 2 = 0 + 0,470 300 123 136;
  • 30) 0,470 300 123 136 × 2 = 0 + 0,940 600 246 272;
  • 31) 0,940 600 246 272 × 2 = 1 + 0,881 200 492 544;
  • 32) 0,881 200 492 544 × 2 = 1 + 0,762 400 985 088;
  • 33) 0,762 400 985 088 × 2 = 1 + 0,524 801 970 176;
  • 34) 0,524 801 970 176 × 2 = 1 + 0,049 603 940 352;
  • 35) 0,049 603 940 352 × 2 = 0 + 0,099 207 880 704;
  • 36) 0,099 207 880 704 × 2 = 0 + 0,198 415 761 408;
  • 37) 0,198 415 761 408 × 2 = 0 + 0,396 831 522 816;
  • 38) 0,396 831 522 816 × 2 = 0 + 0,793 663 045 632;
  • 39) 0,793 663 045 632 × 2 = 1 + 0,587 326 091 264;
  • 40) 0,587 326 091 264 × 2 = 1 + 0,174 652 182 528;
  • 41) 0,174 652 182 528 × 2 = 0 + 0,349 304 365 056;
  • 42) 0,349 304 365 056 × 2 = 0 + 0,698 608 730 112;
  • 43) 0,698 608 730 112 × 2 = 1 + 0,397 217 460 224;
  • 44) 0,397 217 460 224 × 2 = 0 + 0,794 434 920 448;
  • 45) 0,794 434 920 448 × 2 = 1 + 0,588 869 840 896;
  • 46) 0,588 869 840 896 × 2 = 1 + 0,177 739 681 792;
  • 47) 0,177 739 681 792 × 2 = 0 + 0,355 479 363 584;
  • 48) 0,355 479 363 584 × 2 = 0 + 0,710 958 727 168;
  • 49) 0,710 958 727 168 × 2 = 1 + 0,421 917 454 336;
  • 50) 0,421 917 454 336 × 2 = 0 + 0,843 834 908 672;
  • 51) 0,843 834 908 672 × 2 = 1 + 0,687 669 817 344;
  • 52) 0,687 669 817 344 × 2 = 1 + 0,375 339 634 688;
  • 53) 0,375 339 634 688 × 2 = 0 + 0,750 679 269 376;
  • 54) 0,750 679 269 376 × 2 = 1 + 0,501 358 538 752;
  • 55) 0,501 358 538 752 × 2 = 1 + 0,002 717 077 504;
  • 56) 0,002 717 077 504 × 2 = 0 + 0,005 434 155 008;
  • 57) 0,005 434 155 008 × 2 = 0 + 0,010 868 310 016;
  • 58) 0,010 868 310 016 × 2 = 0 + 0,021 736 620 032;
  • 59) 0,021 736 620 032 × 2 = 0 + 0,043 473 240 064;
  • 60) 0,043 473 240 064 × 2 = 0 + 0,086 946 480 128;
  • 61) 0,086 946 480 128 × 2 = 0 + 0,173 892 960 256;
  • 62) 0,173 892 960 256 × 2 = 0 + 0,347 785 920 512;
  • 63) 0,347 785 920 512 × 2 = 0 + 0,695 571 841 024;
  • 64) 0,695 571 841 024 × 2 = 1 + 0,391 143 682 048;
  • 65) 0,391 143 682 048 × 2 = 0 + 0,782 287 364 096;
  • 66) 0,782 287 364 096 × 2 = 1 + 0,564 574 728 192;
  • 67) 0,564 574 728 192 × 2 = 1 + 0,129 149 456 384;
  • 68) 0,129 149 456 384 × 2 = 0 + 0,258 298 912 768;
  • 69) 0,258 298 912 768 × 2 = 0 + 0,516 597 825 536;
  • 70) 0,516 597 825 536 × 2 = 1 + 0,033 195 651 072;
  • 71) 0,033 195 651 072 × 2 = 0 + 0,066 391 302 144;
  • 72) 0,066 391 302 144 × 2 = 0 + 0,132 782 604 288;
  • 73) 0,132 782 604 288 × 2 = 0 + 0,265 565 208 576;
  • 74) 0,265 565 208 576 × 2 = 0 + 0,531 130 417 152;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 347 328(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1100 0011 0010 1100 1011 0110 0000 0001 0110 0100 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 347 328(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1100 0011 0010 1100 1011 0110 0000 0001 0110 0100 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 347 328(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1100 0011 0010 1100 1011 0110 0000 0001 0110 0100 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0101 1101 0011 1100 0011 0010 1100 1011 0110 0000 0001 0110 0100 00(2) × 20 =

1,0111 0100 1111 0000 1100 1011 0010 1101 1000 0000 0101 1001 0000(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 1111 0000 1100 1011 0010 1101 1000 0000 0101 1001 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 1111 0000 1100 1011 0010 1101 1000 0000 0101 1001 0000 =

0111 0100 1111 0000 1100 1011 0010 1101 1000 0000 0101 1001 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 1111 0000 1100 1011 0010 1101 1000 0000 0101 1001 0000


Numărul zecimal 0,000 000 347 328 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 0111 0100 1111 0000 1100 1011 0010 1101 1000 0000 0101 1001 0000

Distribuie

» Scriere 0,000 000 347 269 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100