0,000 000 449 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 449 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 449 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 449 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 449 1 × 2 = 0 + 0,000 000 898 2;
  • 2) 0,000 000 898 2 × 2 = 0 + 0,000 001 796 4;
  • 3) 0,000 001 796 4 × 2 = 0 + 0,000 003 592 8;
  • 4) 0,000 003 592 8 × 2 = 0 + 0,000 007 185 6;
  • 5) 0,000 007 185 6 × 2 = 0 + 0,000 014 371 2;
  • 6) 0,000 014 371 2 × 2 = 0 + 0,000 028 742 4;
  • 7) 0,000 028 742 4 × 2 = 0 + 0,000 057 484 8;
  • 8) 0,000 057 484 8 × 2 = 0 + 0,000 114 969 6;
  • 9) 0,000 114 969 6 × 2 = 0 + 0,000 229 939 2;
  • 10) 0,000 229 939 2 × 2 = 0 + 0,000 459 878 4;
  • 11) 0,000 459 878 4 × 2 = 0 + 0,000 919 756 8;
  • 12) 0,000 919 756 8 × 2 = 0 + 0,001 839 513 6;
  • 13) 0,001 839 513 6 × 2 = 0 + 0,003 679 027 2;
  • 14) 0,003 679 027 2 × 2 = 0 + 0,007 358 054 4;
  • 15) 0,007 358 054 4 × 2 = 0 + 0,014 716 108 8;
  • 16) 0,014 716 108 8 × 2 = 0 + 0,029 432 217 6;
  • 17) 0,029 432 217 6 × 2 = 0 + 0,058 864 435 2;
  • 18) 0,058 864 435 2 × 2 = 0 + 0,117 728 870 4;
  • 19) 0,117 728 870 4 × 2 = 0 + 0,235 457 740 8;
  • 20) 0,235 457 740 8 × 2 = 0 + 0,470 915 481 6;
  • 21) 0,470 915 481 6 × 2 = 0 + 0,941 830 963 2;
  • 22) 0,941 830 963 2 × 2 = 1 + 0,883 661 926 4;
  • 23) 0,883 661 926 4 × 2 = 1 + 0,767 323 852 8;
  • 24) 0,767 323 852 8 × 2 = 1 + 0,534 647 705 6;
  • 25) 0,534 647 705 6 × 2 = 1 + 0,069 295 411 2;
  • 26) 0,069 295 411 2 × 2 = 0 + 0,138 590 822 4;
  • 27) 0,138 590 822 4 × 2 = 0 + 0,277 181 644 8;
  • 28) 0,277 181 644 8 × 2 = 0 + 0,554 363 289 6;
  • 29) 0,554 363 289 6 × 2 = 1 + 0,108 726 579 2;
  • 30) 0,108 726 579 2 × 2 = 0 + 0,217 453 158 4;
  • 31) 0,217 453 158 4 × 2 = 0 + 0,434 906 316 8;
  • 32) 0,434 906 316 8 × 2 = 0 + 0,869 812 633 6;
  • 33) 0,869 812 633 6 × 2 = 1 + 0,739 625 267 2;
  • 34) 0,739 625 267 2 × 2 = 1 + 0,479 250 534 4;
  • 35) 0,479 250 534 4 × 2 = 0 + 0,958 501 068 8;
  • 36) 0,958 501 068 8 × 2 = 1 + 0,917 002 137 6;
  • 37) 0,917 002 137 6 × 2 = 1 + 0,834 004 275 2;
  • 38) 0,834 004 275 2 × 2 = 1 + 0,668 008 550 4;
  • 39) 0,668 008 550 4 × 2 = 1 + 0,336 017 100 8;
  • 40) 0,336 017 100 8 × 2 = 0 + 0,672 034 201 6;
  • 41) 0,672 034 201 6 × 2 = 1 + 0,344 068 403 2;
  • 42) 0,344 068 403 2 × 2 = 0 + 0,688 136 806 4;
  • 43) 0,688 136 806 4 × 2 = 1 + 0,376 273 612 8;
  • 44) 0,376 273 612 8 × 2 = 0 + 0,752 547 225 6;
  • 45) 0,752 547 225 6 × 2 = 1 + 0,505 094 451 2;
  • 46) 0,505 094 451 2 × 2 = 1 + 0,010 188 902 4;
  • 47) 0,010 188 902 4 × 2 = 0 + 0,020 377 804 8;
  • 48) 0,020 377 804 8 × 2 = 0 + 0,040 755 609 6;
  • 49) 0,040 755 609 6 × 2 = 0 + 0,081 511 219 2;
  • 50) 0,081 511 219 2 × 2 = 0 + 0,163 022 438 4;
  • 51) 0,163 022 438 4 × 2 = 0 + 0,326 044 876 8;
  • 52) 0,326 044 876 8 × 2 = 0 + 0,652 089 753 6;
  • 53) 0,652 089 753 6 × 2 = 1 + 0,304 179 507 2;
  • 54) 0,304 179 507 2 × 2 = 0 + 0,608 359 014 4;
  • 55) 0,608 359 014 4 × 2 = 1 + 0,216 718 028 8;
  • 56) 0,216 718 028 8 × 2 = 0 + 0,433 436 057 6;
  • 57) 0,433 436 057 6 × 2 = 0 + 0,866 872 115 2;
  • 58) 0,866 872 115 2 × 2 = 1 + 0,733 744 230 4;
  • 59) 0,733 744 230 4 × 2 = 1 + 0,467 488 460 8;
  • 60) 0,467 488 460 8 × 2 = 0 + 0,934 976 921 6;
  • 61) 0,934 976 921 6 × 2 = 1 + 0,869 953 843 2;
  • 62) 0,869 953 843 2 × 2 = 1 + 0,739 907 686 4;
  • 63) 0,739 907 686 4 × 2 = 1 + 0,479 815 372 8;
  • 64) 0,479 815 372 8 × 2 = 0 + 0,959 630 745 6;
  • 65) 0,959 630 745 6 × 2 = 1 + 0,919 261 491 2;
  • 66) 0,919 261 491 2 × 2 = 1 + 0,838 522 982 4;
  • 67) 0,838 522 982 4 × 2 = 1 + 0,677 045 964 8;
  • 68) 0,677 045 964 8 × 2 = 1 + 0,354 091 929 6;
  • 69) 0,354 091 929 6 × 2 = 0 + 0,708 183 859 2;
  • 70) 0,708 183 859 2 × 2 = 1 + 0,416 367 718 4;
  • 71) 0,416 367 718 4 × 2 = 0 + 0,832 735 436 8;
  • 72) 0,832 735 436 8 × 2 = 1 + 0,665 470 873 6;
  • 73) 0,665 470 873 6 × 2 = 1 + 0,330 941 747 2;
  • 74) 0,330 941 747 2 × 2 = 0 + 0,661 883 494 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 449 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0111 1000 1000 1101 1110 1010 1100 0000 1010 0110 1110 1111 0101 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 449 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0111 1000 1000 1101 1110 1010 1100 0000 1010 0110 1110 1111 0101 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 22 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 449 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0111 1000 1000 1101 1110 1010 1100 0000 1010 0110 1110 1111 0101 10(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0111 1000 1000 1101 1110 1010 1100 0000 1010 0110 1110 1111 0101 10(2) × 20 =

1,1110 0010 0011 0111 1010 1011 0000 0010 1001 1011 1011 1101 0110(2) × 2-22


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -22

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 0010 0011 0111 1010 1011 0000 0010 1001 1011 1011 1101 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-22 + 2(11-1) - 1 =

(-22 + 1 023)(10) =

1 001(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 : 2 = 500 + 1;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1001(10) =

011 1110 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 0010 0011 0111 1010 1011 0000 0010 1001 1011 1011 1101 0110 =

1110 0010 0011 0111 1010 1011 0000 0010 1001 1011 1011 1101 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1001

Mantisă (52 biți) =
1110 0010 0011 0111 1010 1011 0000 0010 1001 1011 1011 1101 0110


Numărul zecimal 0,000 000 449 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1001 - 1110 0010 0011 0111 1010 1011 0000 0010 1001 1011 1011 1101 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 447 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100