0,000 001 300 900 28 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 001 300 900 28(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 001 300 900 28(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 001 300 900 28.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 001 300 900 28 × 2 = 0 + 0,000 002 601 800 56;
  • 2) 0,000 002 601 800 56 × 2 = 0 + 0,000 005 203 601 12;
  • 3) 0,000 005 203 601 12 × 2 = 0 + 0,000 010 407 202 24;
  • 4) 0,000 010 407 202 24 × 2 = 0 + 0,000 020 814 404 48;
  • 5) 0,000 020 814 404 48 × 2 = 0 + 0,000 041 628 808 96;
  • 6) 0,000 041 628 808 96 × 2 = 0 + 0,000 083 257 617 92;
  • 7) 0,000 083 257 617 92 × 2 = 0 + 0,000 166 515 235 84;
  • 8) 0,000 166 515 235 84 × 2 = 0 + 0,000 333 030 471 68;
  • 9) 0,000 333 030 471 68 × 2 = 0 + 0,000 666 060 943 36;
  • 10) 0,000 666 060 943 36 × 2 = 0 + 0,001 332 121 886 72;
  • 11) 0,001 332 121 886 72 × 2 = 0 + 0,002 664 243 773 44;
  • 12) 0,002 664 243 773 44 × 2 = 0 + 0,005 328 487 546 88;
  • 13) 0,005 328 487 546 88 × 2 = 0 + 0,010 656 975 093 76;
  • 14) 0,010 656 975 093 76 × 2 = 0 + 0,021 313 950 187 52;
  • 15) 0,021 313 950 187 52 × 2 = 0 + 0,042 627 900 375 04;
  • 16) 0,042 627 900 375 04 × 2 = 0 + 0,085 255 800 750 08;
  • 17) 0,085 255 800 750 08 × 2 = 0 + 0,170 511 601 500 16;
  • 18) 0,170 511 601 500 16 × 2 = 0 + 0,341 023 203 000 32;
  • 19) 0,341 023 203 000 32 × 2 = 0 + 0,682 046 406 000 64;
  • 20) 0,682 046 406 000 64 × 2 = 1 + 0,364 092 812 001 28;
  • 21) 0,364 092 812 001 28 × 2 = 0 + 0,728 185 624 002 56;
  • 22) 0,728 185 624 002 56 × 2 = 1 + 0,456 371 248 005 12;
  • 23) 0,456 371 248 005 12 × 2 = 0 + 0,912 742 496 010 24;
  • 24) 0,912 742 496 010 24 × 2 = 1 + 0,825 484 992 020 48;
  • 25) 0,825 484 992 020 48 × 2 = 1 + 0,650 969 984 040 96;
  • 26) 0,650 969 984 040 96 × 2 = 1 + 0,301 939 968 081 92;
  • 27) 0,301 939 968 081 92 × 2 = 0 + 0,603 879 936 163 84;
  • 28) 0,603 879 936 163 84 × 2 = 1 + 0,207 759 872 327 68;
  • 29) 0,207 759 872 327 68 × 2 = 0 + 0,415 519 744 655 36;
  • 30) 0,415 519 744 655 36 × 2 = 0 + 0,831 039 489 310 72;
  • 31) 0,831 039 489 310 72 × 2 = 1 + 0,662 078 978 621 44;
  • 32) 0,662 078 978 621 44 × 2 = 1 + 0,324 157 957 242 88;
  • 33) 0,324 157 957 242 88 × 2 = 0 + 0,648 315 914 485 76;
  • 34) 0,648 315 914 485 76 × 2 = 1 + 0,296 631 828 971 52;
  • 35) 0,296 631 828 971 52 × 2 = 0 + 0,593 263 657 943 04;
  • 36) 0,593 263 657 943 04 × 2 = 1 + 0,186 527 315 886 08;
  • 37) 0,186 527 315 886 08 × 2 = 0 + 0,373 054 631 772 16;
  • 38) 0,373 054 631 772 16 × 2 = 0 + 0,746 109 263 544 32;
  • 39) 0,746 109 263 544 32 × 2 = 1 + 0,492 218 527 088 64;
  • 40) 0,492 218 527 088 64 × 2 = 0 + 0,984 437 054 177 28;
  • 41) 0,984 437 054 177 28 × 2 = 1 + 0,968 874 108 354 56;
  • 42) 0,968 874 108 354 56 × 2 = 1 + 0,937 748 216 709 12;
  • 43) 0,937 748 216 709 12 × 2 = 1 + 0,875 496 433 418 24;
  • 44) 0,875 496 433 418 24 × 2 = 1 + 0,750 992 866 836 48;
  • 45) 0,750 992 866 836 48 × 2 = 1 + 0,501 985 733 672 96;
  • 46) 0,501 985 733 672 96 × 2 = 1 + 0,003 971 467 345 92;
  • 47) 0,003 971 467 345 92 × 2 = 0 + 0,007 942 934 691 84;
  • 48) 0,007 942 934 691 84 × 2 = 0 + 0,015 885 869 383 68;
  • 49) 0,015 885 869 383 68 × 2 = 0 + 0,031 771 738 767 36;
  • 50) 0,031 771 738 767 36 × 2 = 0 + 0,063 543 477 534 72;
  • 51) 0,063 543 477 534 72 × 2 = 0 + 0,127 086 955 069 44;
  • 52) 0,127 086 955 069 44 × 2 = 0 + 0,254 173 910 138 88;
  • 53) 0,254 173 910 138 88 × 2 = 0 + 0,508 347 820 277 76;
  • 54) 0,508 347 820 277 76 × 2 = 1 + 0,016 695 640 555 52;
  • 55) 0,016 695 640 555 52 × 2 = 0 + 0,033 391 281 111 04;
  • 56) 0,033 391 281 111 04 × 2 = 0 + 0,066 782 562 222 08;
  • 57) 0,066 782 562 222 08 × 2 = 0 + 0,133 565 124 444 16;
  • 58) 0,133 565 124 444 16 × 2 = 0 + 0,267 130 248 888 32;
  • 59) 0,267 130 248 888 32 × 2 = 0 + 0,534 260 497 776 64;
  • 60) 0,534 260 497 776 64 × 2 = 1 + 0,068 520 995 553 28;
  • 61) 0,068 520 995 553 28 × 2 = 0 + 0,137 041 991 106 56;
  • 62) 0,137 041 991 106 56 × 2 = 0 + 0,274 083 982 213 12;
  • 63) 0,274 083 982 213 12 × 2 = 0 + 0,548 167 964 426 24;
  • 64) 0,548 167 964 426 24 × 2 = 1 + 0,096 335 928 852 48;
  • 65) 0,096 335 928 852 48 × 2 = 0 + 0,192 671 857 704 96;
  • 66) 0,192 671 857 704 96 × 2 = 0 + 0,385 343 715 409 92;
  • 67) 0,385 343 715 409 92 × 2 = 0 + 0,770 687 430 819 84;
  • 68) 0,770 687 430 819 84 × 2 = 1 + 0,541 374 861 639 68;
  • 69) 0,541 374 861 639 68 × 2 = 1 + 0,082 749 723 279 36;
  • 70) 0,082 749 723 279 36 × 2 = 0 + 0,165 499 446 558 72;
  • 71) 0,165 499 446 558 72 × 2 = 0 + 0,330 998 893 117 44;
  • 72) 0,330 998 893 117 44 × 2 = 0 + 0,661 997 786 234 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 001 300 900 28(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 001 300 900 28(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 20 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 001 300 900 28(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000(2) × 20 =

1,0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000(2) × 2-20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -20

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-20 + 2(11-1) - 1 =

(-20 + 1 023)(10) =

1 003(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 003 : 2 = 501 + 1;
  • 501 : 2 = 250 + 1;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1003(10) =

011 1110 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000 =

0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1011

Mantisă (52 biți) =
0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000


Numărul zecimal 0,000 001 300 900 28 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1011 - 0101 1101 0011 0101 0010 1111 1100 0000 0100 0001 0001 0001 1000

» Scriere 0,000 001 300 899 97 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 11, 2026 [Noiembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Noiembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100