0,000 001 506 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 001 506 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 001 506 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 001 506 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 001 506 37 × 2 = 0 + 0,000 003 012 74;
  • 2) 0,000 003 012 74 × 2 = 0 + 0,000 006 025 48;
  • 3) 0,000 006 025 48 × 2 = 0 + 0,000 012 050 96;
  • 4) 0,000 012 050 96 × 2 = 0 + 0,000 024 101 92;
  • 5) 0,000 024 101 92 × 2 = 0 + 0,000 048 203 84;
  • 6) 0,000 048 203 84 × 2 = 0 + 0,000 096 407 68;
  • 7) 0,000 096 407 68 × 2 = 0 + 0,000 192 815 36;
  • 8) 0,000 192 815 36 × 2 = 0 + 0,000 385 630 72;
  • 9) 0,000 385 630 72 × 2 = 0 + 0,000 771 261 44;
  • 10) 0,000 771 261 44 × 2 = 0 + 0,001 542 522 88;
  • 11) 0,001 542 522 88 × 2 = 0 + 0,003 085 045 76;
  • 12) 0,003 085 045 76 × 2 = 0 + 0,006 170 091 52;
  • 13) 0,006 170 091 52 × 2 = 0 + 0,012 340 183 04;
  • 14) 0,012 340 183 04 × 2 = 0 + 0,024 680 366 08;
  • 15) 0,024 680 366 08 × 2 = 0 + 0,049 360 732 16;
  • 16) 0,049 360 732 16 × 2 = 0 + 0,098 721 464 32;
  • 17) 0,098 721 464 32 × 2 = 0 + 0,197 442 928 64;
  • 18) 0,197 442 928 64 × 2 = 0 + 0,394 885 857 28;
  • 19) 0,394 885 857 28 × 2 = 0 + 0,789 771 714 56;
  • 20) 0,789 771 714 56 × 2 = 1 + 0,579 543 429 12;
  • 21) 0,579 543 429 12 × 2 = 1 + 0,159 086 858 24;
  • 22) 0,159 086 858 24 × 2 = 0 + 0,318 173 716 48;
  • 23) 0,318 173 716 48 × 2 = 0 + 0,636 347 432 96;
  • 24) 0,636 347 432 96 × 2 = 1 + 0,272 694 865 92;
  • 25) 0,272 694 865 92 × 2 = 0 + 0,545 389 731 84;
  • 26) 0,545 389 731 84 × 2 = 1 + 0,090 779 463 68;
  • 27) 0,090 779 463 68 × 2 = 0 + 0,181 558 927 36;
  • 28) 0,181 558 927 36 × 2 = 0 + 0,363 117 854 72;
  • 29) 0,363 117 854 72 × 2 = 0 + 0,726 235 709 44;
  • 30) 0,726 235 709 44 × 2 = 1 + 0,452 471 418 88;
  • 31) 0,452 471 418 88 × 2 = 0 + 0,904 942 837 76;
  • 32) 0,904 942 837 76 × 2 = 1 + 0,809 885 675 52;
  • 33) 0,809 885 675 52 × 2 = 1 + 0,619 771 351 04;
  • 34) 0,619 771 351 04 × 2 = 1 + 0,239 542 702 08;
  • 35) 0,239 542 702 08 × 2 = 0 + 0,479 085 404 16;
  • 36) 0,479 085 404 16 × 2 = 0 + 0,958 170 808 32;
  • 37) 0,958 170 808 32 × 2 = 1 + 0,916 341 616 64;
  • 38) 0,916 341 616 64 × 2 = 1 + 0,832 683 233 28;
  • 39) 0,832 683 233 28 × 2 = 1 + 0,665 366 466 56;
  • 40) 0,665 366 466 56 × 2 = 1 + 0,330 732 933 12;
  • 41) 0,330 732 933 12 × 2 = 0 + 0,661 465 866 24;
  • 42) 0,661 465 866 24 × 2 = 1 + 0,322 931 732 48;
  • 43) 0,322 931 732 48 × 2 = 0 + 0,645 863 464 96;
  • 44) 0,645 863 464 96 × 2 = 1 + 0,291 726 929 92;
  • 45) 0,291 726 929 92 × 2 = 0 + 0,583 453 859 84;
  • 46) 0,583 453 859 84 × 2 = 1 + 0,166 907 719 68;
  • 47) 0,166 907 719 68 × 2 = 0 + 0,333 815 439 36;
  • 48) 0,333 815 439 36 × 2 = 0 + 0,667 630 878 72;
  • 49) 0,667 630 878 72 × 2 = 1 + 0,335 261 757 44;
  • 50) 0,335 261 757 44 × 2 = 0 + 0,670 523 514 88;
  • 51) 0,670 523 514 88 × 2 = 1 + 0,341 047 029 76;
  • 52) 0,341 047 029 76 × 2 = 0 + 0,682 094 059 52;
  • 53) 0,682 094 059 52 × 2 = 1 + 0,364 188 119 04;
  • 54) 0,364 188 119 04 × 2 = 0 + 0,728 376 238 08;
  • 55) 0,728 376 238 08 × 2 = 1 + 0,456 752 476 16;
  • 56) 0,456 752 476 16 × 2 = 0 + 0,913 504 952 32;
  • 57) 0,913 504 952 32 × 2 = 1 + 0,827 009 904 64;
  • 58) 0,827 009 904 64 × 2 = 1 + 0,654 019 809 28;
  • 59) 0,654 019 809 28 × 2 = 1 + 0,308 039 618 56;
  • 60) 0,308 039 618 56 × 2 = 0 + 0,616 079 237 12;
  • 61) 0,616 079 237 12 × 2 = 1 + 0,232 158 474 24;
  • 62) 0,232 158 474 24 × 2 = 0 + 0,464 316 948 48;
  • 63) 0,464 316 948 48 × 2 = 0 + 0,928 633 896 96;
  • 64) 0,928 633 896 96 × 2 = 1 + 0,857 267 793 92;
  • 65) 0,857 267 793 92 × 2 = 1 + 0,714 535 587 84;
  • 66) 0,714 535 587 84 × 2 = 1 + 0,429 071 175 68;
  • 67) 0,429 071 175 68 × 2 = 0 + 0,858 142 351 36;
  • 68) 0,858 142 351 36 × 2 = 1 + 0,716 284 702 72;
  • 69) 0,716 284 702 72 × 2 = 1 + 0,432 569 405 44;
  • 70) 0,432 569 405 44 × 2 = 0 + 0,865 138 810 88;
  • 71) 0,865 138 810 88 × 2 = 1 + 0,730 277 621 76;
  • 72) 0,730 277 621 76 × 2 = 1 + 0,460 555 243 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 001 506 37(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 001 506 37(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 20 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 001 506 37(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0001 1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011(2) × 20 =

1,1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011(2) × 2-20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -20

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-20 + 2(11-1) - 1 =

(-20 + 1 023)(10) =

1 003(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 003 : 2 = 501 + 1;
  • 501 : 2 = 250 + 1;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1003(10) =

011 1110 1011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011 =

1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1011

Mantisă (52 biți) =
1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011


Numărul zecimal 0,000 001 506 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1011 - 1001 0100 0101 1100 1111 0101 0100 1010 1010 1110 1001 1101 1011

» Scriere 0,000 001 506 19 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100