0,000 002 297 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 002 297 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 002 297 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 002 297 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 002 297 2 × 2 = 0 + 0,000 004 594 4;
  • 2) 0,000 004 594 4 × 2 = 0 + 0,000 009 188 8;
  • 3) 0,000 009 188 8 × 2 = 0 + 0,000 018 377 6;
  • 4) 0,000 018 377 6 × 2 = 0 + 0,000 036 755 2;
  • 5) 0,000 036 755 2 × 2 = 0 + 0,000 073 510 4;
  • 6) 0,000 073 510 4 × 2 = 0 + 0,000 147 020 8;
  • 7) 0,000 147 020 8 × 2 = 0 + 0,000 294 041 6;
  • 8) 0,000 294 041 6 × 2 = 0 + 0,000 588 083 2;
  • 9) 0,000 588 083 2 × 2 = 0 + 0,001 176 166 4;
  • 10) 0,001 176 166 4 × 2 = 0 + 0,002 352 332 8;
  • 11) 0,002 352 332 8 × 2 = 0 + 0,004 704 665 6;
  • 12) 0,004 704 665 6 × 2 = 0 + 0,009 409 331 2;
  • 13) 0,009 409 331 2 × 2 = 0 + 0,018 818 662 4;
  • 14) 0,018 818 662 4 × 2 = 0 + 0,037 637 324 8;
  • 15) 0,037 637 324 8 × 2 = 0 + 0,075 274 649 6;
  • 16) 0,075 274 649 6 × 2 = 0 + 0,150 549 299 2;
  • 17) 0,150 549 299 2 × 2 = 0 + 0,301 098 598 4;
  • 18) 0,301 098 598 4 × 2 = 0 + 0,602 197 196 8;
  • 19) 0,602 197 196 8 × 2 = 1 + 0,204 394 393 6;
  • 20) 0,204 394 393 6 × 2 = 0 + 0,408 788 787 2;
  • 21) 0,408 788 787 2 × 2 = 0 + 0,817 577 574 4;
  • 22) 0,817 577 574 4 × 2 = 1 + 0,635 155 148 8;
  • 23) 0,635 155 148 8 × 2 = 1 + 0,270 310 297 6;
  • 24) 0,270 310 297 6 × 2 = 0 + 0,540 620 595 2;
  • 25) 0,540 620 595 2 × 2 = 1 + 0,081 241 190 4;
  • 26) 0,081 241 190 4 × 2 = 0 + 0,162 482 380 8;
  • 27) 0,162 482 380 8 × 2 = 0 + 0,324 964 761 6;
  • 28) 0,324 964 761 6 × 2 = 0 + 0,649 929 523 2;
  • 29) 0,649 929 523 2 × 2 = 1 + 0,299 859 046 4;
  • 30) 0,299 859 046 4 × 2 = 0 + 0,599 718 092 8;
  • 31) 0,599 718 092 8 × 2 = 1 + 0,199 436 185 6;
  • 32) 0,199 436 185 6 × 2 = 0 + 0,398 872 371 2;
  • 33) 0,398 872 371 2 × 2 = 0 + 0,797 744 742 4;
  • 34) 0,797 744 742 4 × 2 = 1 + 0,595 489 484 8;
  • 35) 0,595 489 484 8 × 2 = 1 + 0,190 978 969 6;
  • 36) 0,190 978 969 6 × 2 = 0 + 0,381 957 939 2;
  • 37) 0,381 957 939 2 × 2 = 0 + 0,763 915 878 4;
  • 38) 0,763 915 878 4 × 2 = 1 + 0,527 831 756 8;
  • 39) 0,527 831 756 8 × 2 = 1 + 0,055 663 513 6;
  • 40) 0,055 663 513 6 × 2 = 0 + 0,111 327 027 2;
  • 41) 0,111 327 027 2 × 2 = 0 + 0,222 654 054 4;
  • 42) 0,222 654 054 4 × 2 = 0 + 0,445 308 108 8;
  • 43) 0,445 308 108 8 × 2 = 0 + 0,890 616 217 6;
  • 44) 0,890 616 217 6 × 2 = 1 + 0,781 232 435 2;
  • 45) 0,781 232 435 2 × 2 = 1 + 0,562 464 870 4;
  • 46) 0,562 464 870 4 × 2 = 1 + 0,124 929 740 8;
  • 47) 0,124 929 740 8 × 2 = 0 + 0,249 859 481 6;
  • 48) 0,249 859 481 6 × 2 = 0 + 0,499 718 963 2;
  • 49) 0,499 718 963 2 × 2 = 0 + 0,999 437 926 4;
  • 50) 0,999 437 926 4 × 2 = 1 + 0,998 875 852 8;
  • 51) 0,998 875 852 8 × 2 = 1 + 0,997 751 705 6;
  • 52) 0,997 751 705 6 × 2 = 1 + 0,995 503 411 2;
  • 53) 0,995 503 411 2 × 2 = 1 + 0,991 006 822 4;
  • 54) 0,991 006 822 4 × 2 = 1 + 0,982 013 644 8;
  • 55) 0,982 013 644 8 × 2 = 1 + 0,964 027 289 6;
  • 56) 0,964 027 289 6 × 2 = 1 + 0,928 054 579 2;
  • 57) 0,928 054 579 2 × 2 = 1 + 0,856 109 158 4;
  • 58) 0,856 109 158 4 × 2 = 1 + 0,712 218 316 8;
  • 59) 0,712 218 316 8 × 2 = 1 + 0,424 436 633 6;
  • 60) 0,424 436 633 6 × 2 = 0 + 0,848 873 267 2;
  • 61) 0,848 873 267 2 × 2 = 1 + 0,697 746 534 4;
  • 62) 0,697 746 534 4 × 2 = 1 + 0,395 493 068 8;
  • 63) 0,395 493 068 8 × 2 = 0 + 0,790 986 137 6;
  • 64) 0,790 986 137 6 × 2 = 1 + 0,581 972 275 2;
  • 65) 0,581 972 275 2 × 2 = 1 + 0,163 944 550 4;
  • 66) 0,163 944 550 4 × 2 = 0 + 0,327 889 100 8;
  • 67) 0,327 889 100 8 × 2 = 0 + 0,655 778 201 6;
  • 68) 0,655 778 201 6 × 2 = 1 + 0,311 556 403 2;
  • 69) 0,311 556 403 2 × 2 = 0 + 0,623 112 806 4;
  • 70) 0,623 112 806 4 × 2 = 1 + 0,246 225 612 8;
  • 71) 0,246 225 612 8 × 2 = 0 + 0,492 451 225 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 002 297 2(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 0110 1000 1010 0110 0110 0001 1100 0111 1111 1110 1101 1001 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 002 297 2(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 0110 1000 1010 0110 0110 0001 1100 0111 1111 1110 1101 1001 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 002 297 2(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 0110 1000 1010 0110 0110 0001 1100 0111 1111 1110 1101 1001 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0010 0110 1000 1010 0110 0110 0001 1100 0111 1111 1110 1101 1001 010(2) × 20 =

1,0011 0100 0101 0011 0011 0000 1110 0011 1111 1111 0110 1100 1010(2) × 2-19


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0100 0101 0011 0011 0000 1110 0011 1111 1111 0110 1100 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0100 0101 0011 0011 0000 1110 0011 1111 1111 0110 1100 1010 =

0011 0100 0101 0011 0011 0000 1110 0011 1111 1111 0110 1100 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 0100 0101 0011 0011 0000 1110 0011 1111 1111 0110 1100 1010


Numărul zecimal 0,000 002 297 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1100 - 0011 0100 0101 0011 0011 0000 1110 0011 1111 1111 0110 1100 1010

» Scriere 0,000 002 304 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100