0,000 003 669 410 54 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 003 669 410 54(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 003 669 410 54(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 003 669 410 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 003 669 410 54 × 2 = 0 + 0,000 007 338 821 08;
  • 2) 0,000 007 338 821 08 × 2 = 0 + 0,000 014 677 642 16;
  • 3) 0,000 014 677 642 16 × 2 = 0 + 0,000 029 355 284 32;
  • 4) 0,000 029 355 284 32 × 2 = 0 + 0,000 058 710 568 64;
  • 5) 0,000 058 710 568 64 × 2 = 0 + 0,000 117 421 137 28;
  • 6) 0,000 117 421 137 28 × 2 = 0 + 0,000 234 842 274 56;
  • 7) 0,000 234 842 274 56 × 2 = 0 + 0,000 469 684 549 12;
  • 8) 0,000 469 684 549 12 × 2 = 0 + 0,000 939 369 098 24;
  • 9) 0,000 939 369 098 24 × 2 = 0 + 0,001 878 738 196 48;
  • 10) 0,001 878 738 196 48 × 2 = 0 + 0,003 757 476 392 96;
  • 11) 0,003 757 476 392 96 × 2 = 0 + 0,007 514 952 785 92;
  • 12) 0,007 514 952 785 92 × 2 = 0 + 0,015 029 905 571 84;
  • 13) 0,015 029 905 571 84 × 2 = 0 + 0,030 059 811 143 68;
  • 14) 0,030 059 811 143 68 × 2 = 0 + 0,060 119 622 287 36;
  • 15) 0,060 119 622 287 36 × 2 = 0 + 0,120 239 244 574 72;
  • 16) 0,120 239 244 574 72 × 2 = 0 + 0,240 478 489 149 44;
  • 17) 0,240 478 489 149 44 × 2 = 0 + 0,480 956 978 298 88;
  • 18) 0,480 956 978 298 88 × 2 = 0 + 0,961 913 956 597 76;
  • 19) 0,961 913 956 597 76 × 2 = 1 + 0,923 827 913 195 52;
  • 20) 0,923 827 913 195 52 × 2 = 1 + 0,847 655 826 391 04;
  • 21) 0,847 655 826 391 04 × 2 = 1 + 0,695 311 652 782 08;
  • 22) 0,695 311 652 782 08 × 2 = 1 + 0,390 623 305 564 16;
  • 23) 0,390 623 305 564 16 × 2 = 0 + 0,781 246 611 128 32;
  • 24) 0,781 246 611 128 32 × 2 = 1 + 0,562 493 222 256 64;
  • 25) 0,562 493 222 256 64 × 2 = 1 + 0,124 986 444 513 28;
  • 26) 0,124 986 444 513 28 × 2 = 0 + 0,249 972 889 026 56;
  • 27) 0,249 972 889 026 56 × 2 = 0 + 0,499 945 778 053 12;
  • 28) 0,499 945 778 053 12 × 2 = 0 + 0,999 891 556 106 24;
  • 29) 0,999 891 556 106 24 × 2 = 1 + 0,999 783 112 212 48;
  • 30) 0,999 783 112 212 48 × 2 = 1 + 0,999 566 224 424 96;
  • 31) 0,999 566 224 424 96 × 2 = 1 + 0,999 132 448 849 92;
  • 32) 0,999 132 448 849 92 × 2 = 1 + 0,998 264 897 699 84;
  • 33) 0,998 264 897 699 84 × 2 = 1 + 0,996 529 795 399 68;
  • 34) 0,996 529 795 399 68 × 2 = 1 + 0,993 059 590 799 36;
  • 35) 0,993 059 590 799 36 × 2 = 1 + 0,986 119 181 598 72;
  • 36) 0,986 119 181 598 72 × 2 = 1 + 0,972 238 363 197 44;
  • 37) 0,972 238 363 197 44 × 2 = 1 + 0,944 476 726 394 88;
  • 38) 0,944 476 726 394 88 × 2 = 1 + 0,888 953 452 789 76;
  • 39) 0,888 953 452 789 76 × 2 = 1 + 0,777 906 905 579 52;
  • 40) 0,777 906 905 579 52 × 2 = 1 + 0,555 813 811 159 04;
  • 41) 0,555 813 811 159 04 × 2 = 1 + 0,111 627 622 318 08;
  • 42) 0,111 627 622 318 08 × 2 = 0 + 0,223 255 244 636 16;
  • 43) 0,223 255 244 636 16 × 2 = 0 + 0,446 510 489 272 32;
  • 44) 0,446 510 489 272 32 × 2 = 0 + 0,893 020 978 544 64;
  • 45) 0,893 020 978 544 64 × 2 = 1 + 0,786 041 957 089 28;
  • 46) 0,786 041 957 089 28 × 2 = 1 + 0,572 083 914 178 56;
  • 47) 0,572 083 914 178 56 × 2 = 1 + 0,144 167 828 357 12;
  • 48) 0,144 167 828 357 12 × 2 = 0 + 0,288 335 656 714 24;
  • 49) 0,288 335 656 714 24 × 2 = 0 + 0,576 671 313 428 48;
  • 50) 0,576 671 313 428 48 × 2 = 1 + 0,153 342 626 856 96;
  • 51) 0,153 342 626 856 96 × 2 = 0 + 0,306 685 253 713 92;
  • 52) 0,306 685 253 713 92 × 2 = 0 + 0,613 370 507 427 84;
  • 53) 0,613 370 507 427 84 × 2 = 1 + 0,226 741 014 855 68;
  • 54) 0,226 741 014 855 68 × 2 = 0 + 0,453 482 029 711 36;
  • 55) 0,453 482 029 711 36 × 2 = 0 + 0,906 964 059 422 72;
  • 56) 0,906 964 059 422 72 × 2 = 1 + 0,813 928 118 845 44;
  • 57) 0,813 928 118 845 44 × 2 = 1 + 0,627 856 237 690 88;
  • 58) 0,627 856 237 690 88 × 2 = 1 + 0,255 712 475 381 76;
  • 59) 0,255 712 475 381 76 × 2 = 0 + 0,511 424 950 763 52;
  • 60) 0,511 424 950 763 52 × 2 = 1 + 0,022 849 901 527 04;
  • 61) 0,022 849 901 527 04 × 2 = 0 + 0,045 699 803 054 08;
  • 62) 0,045 699 803 054 08 × 2 = 0 + 0,091 399 606 108 16;
  • 63) 0,091 399 606 108 16 × 2 = 0 + 0,182 799 212 216 32;
  • 64) 0,182 799 212 216 32 × 2 = 0 + 0,365 598 424 432 64;
  • 65) 0,365 598 424 432 64 × 2 = 0 + 0,731 196 848 865 28;
  • 66) 0,731 196 848 865 28 × 2 = 1 + 0,462 393 697 730 56;
  • 67) 0,462 393 697 730 56 × 2 = 0 + 0,924 787 395 461 12;
  • 68) 0,924 787 395 461 12 × 2 = 1 + 0,849 574 790 922 24;
  • 69) 0,849 574 790 922 24 × 2 = 1 + 0,699 149 581 844 48;
  • 70) 0,699 149 581 844 48 × 2 = 1 + 0,398 299 163 688 96;
  • 71) 0,398 299 163 688 96 × 2 = 0 + 0,796 598 327 377 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 003 669 410 54(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1101 1000 1111 1111 1111 1000 1110 0100 1001 1101 0000 0101 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 003 669 410 54(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1101 1000 1111 1111 1111 1000 1110 0100 1001 1101 0000 0101 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 19 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 003 669 410 54(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1101 1000 1111 1111 1111 1000 1110 0100 1001 1101 0000 0101 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0011 1101 1000 1111 1111 1111 1000 1110 0100 1001 1101 0000 0101 110(2) × 20 =

1,1110 1100 0111 1111 1111 1100 0111 0010 0100 1110 1000 0010 1110(2) × 2-19


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -19

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1100 0111 1111 1111 1100 0111 0010 0100 1110 1000 0010 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-19 + 2(11-1) - 1 =

(-19 + 1 023)(10) =

1 004(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 004 : 2 = 502 + 0;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1004(10) =

011 1110 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1100 0111 1111 1111 1100 0111 0010 0100 1110 1000 0010 1110 =

1110 1100 0111 1111 1111 1100 0111 0010 0100 1110 1000 0010 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1100

Mantisă (52 biți) =
1110 1100 0111 1111 1111 1100 0111 0010 0100 1110 1000 0010 1110


Numărul zecimal 0,000 003 669 410 54 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1100 - 1110 1100 0111 1111 1111 1100 0111 0010 0100 1110 1000 0010 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 003 669 409 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100