0,000 007 629 337 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 007 629 337(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 007 629 337(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 629 337.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 629 337 × 2 = 0 + 0,000 015 258 674;
  • 2) 0,000 015 258 674 × 2 = 0 + 0,000 030 517 348;
  • 3) 0,000 030 517 348 × 2 = 0 + 0,000 061 034 696;
  • 4) 0,000 061 034 696 × 2 = 0 + 0,000 122 069 392;
  • 5) 0,000 122 069 392 × 2 = 0 + 0,000 244 138 784;
  • 6) 0,000 244 138 784 × 2 = 0 + 0,000 488 277 568;
  • 7) 0,000 488 277 568 × 2 = 0 + 0,000 976 555 136;
  • 8) 0,000 976 555 136 × 2 = 0 + 0,001 953 110 272;
  • 9) 0,001 953 110 272 × 2 = 0 + 0,003 906 220 544;
  • 10) 0,003 906 220 544 × 2 = 0 + 0,007 812 441 088;
  • 11) 0,007 812 441 088 × 2 = 0 + 0,015 624 882 176;
  • 12) 0,015 624 882 176 × 2 = 0 + 0,031 249 764 352;
  • 13) 0,031 249 764 352 × 2 = 0 + 0,062 499 528 704;
  • 14) 0,062 499 528 704 × 2 = 0 + 0,124 999 057 408;
  • 15) 0,124 999 057 408 × 2 = 0 + 0,249 998 114 816;
  • 16) 0,249 998 114 816 × 2 = 0 + 0,499 996 229 632;
  • 17) 0,499 996 229 632 × 2 = 0 + 0,999 992 459 264;
  • 18) 0,999 992 459 264 × 2 = 1 + 0,999 984 918 528;
  • 19) 0,999 984 918 528 × 2 = 1 + 0,999 969 837 056;
  • 20) 0,999 969 837 056 × 2 = 1 + 0,999 939 674 112;
  • 21) 0,999 939 674 112 × 2 = 1 + 0,999 879 348 224;
  • 22) 0,999 879 348 224 × 2 = 1 + 0,999 758 696 448;
  • 23) 0,999 758 696 448 × 2 = 1 + 0,999 517 392 896;
  • 24) 0,999 517 392 896 × 2 = 1 + 0,999 034 785 792;
  • 25) 0,999 034 785 792 × 2 = 1 + 0,998 069 571 584;
  • 26) 0,998 069 571 584 × 2 = 1 + 0,996 139 143 168;
  • 27) 0,996 139 143 168 × 2 = 1 + 0,992 278 286 336;
  • 28) 0,992 278 286 336 × 2 = 1 + 0,984 556 572 672;
  • 29) 0,984 556 572 672 × 2 = 1 + 0,969 113 145 344;
  • 30) 0,969 113 145 344 × 2 = 1 + 0,938 226 290 688;
  • 31) 0,938 226 290 688 × 2 = 1 + 0,876 452 581 376;
  • 32) 0,876 452 581 376 × 2 = 1 + 0,752 905 162 752;
  • 33) 0,752 905 162 752 × 2 = 1 + 0,505 810 325 504;
  • 34) 0,505 810 325 504 × 2 = 1 + 0,011 620 651 008;
  • 35) 0,011 620 651 008 × 2 = 0 + 0,023 241 302 016;
  • 36) 0,023 241 302 016 × 2 = 0 + 0,046 482 604 032;
  • 37) 0,046 482 604 032 × 2 = 0 + 0,092 965 208 064;
  • 38) 0,092 965 208 064 × 2 = 0 + 0,185 930 416 128;
  • 39) 0,185 930 416 128 × 2 = 0 + 0,371 860 832 256;
  • 40) 0,371 860 832 256 × 2 = 0 + 0,743 721 664 512;
  • 41) 0,743 721 664 512 × 2 = 1 + 0,487 443 329 024;
  • 42) 0,487 443 329 024 × 2 = 0 + 0,974 886 658 048;
  • 43) 0,974 886 658 048 × 2 = 1 + 0,949 773 316 096;
  • 44) 0,949 773 316 096 × 2 = 1 + 0,899 546 632 192;
  • 45) 0,899 546 632 192 × 2 = 1 + 0,799 093 264 384;
  • 46) 0,799 093 264 384 × 2 = 1 + 0,598 186 528 768;
  • 47) 0,598 186 528 768 × 2 = 1 + 0,196 373 057 536;
  • 48) 0,196 373 057 536 × 2 = 0 + 0,392 746 115 072;
  • 49) 0,392 746 115 072 × 2 = 0 + 0,785 492 230 144;
  • 50) 0,785 492 230 144 × 2 = 1 + 0,570 984 460 288;
  • 51) 0,570 984 460 288 × 2 = 1 + 0,141 968 920 576;
  • 52) 0,141 968 920 576 × 2 = 0 + 0,283 937 841 152;
  • 53) 0,283 937 841 152 × 2 = 0 + 0,567 875 682 304;
  • 54) 0,567 875 682 304 × 2 = 1 + 0,135 751 364 608;
  • 55) 0,135 751 364 608 × 2 = 0 + 0,271 502 729 216;
  • 56) 0,271 502 729 216 × 2 = 0 + 0,543 005 458 432;
  • 57) 0,543 005 458 432 × 2 = 1 + 0,086 010 916 864;
  • 58) 0,086 010 916 864 × 2 = 0 + 0,172 021 833 728;
  • 59) 0,172 021 833 728 × 2 = 0 + 0,344 043 667 456;
  • 60) 0,344 043 667 456 × 2 = 0 + 0,688 087 334 912;
  • 61) 0,688 087 334 912 × 2 = 1 + 0,376 174 669 824;
  • 62) 0,376 174 669 824 × 2 = 0 + 0,752 349 339 648;
  • 63) 0,752 349 339 648 × 2 = 1 + 0,504 698 679 296;
  • 64) 0,504 698 679 296 × 2 = 1 + 0,009 397 358 592;
  • 65) 0,009 397 358 592 × 2 = 0 + 0,018 794 717 184;
  • 66) 0,018 794 717 184 × 2 = 0 + 0,037 589 434 368;
  • 67) 0,037 589 434 368 × 2 = 0 + 0,075 178 868 736;
  • 68) 0,075 178 868 736 × 2 = 0 + 0,150 357 737 472;
  • 69) 0,150 357 737 472 × 2 = 0 + 0,300 715 474 944;
  • 70) 0,300 715 474 944 × 2 = 0 + 0,601 430 949 888;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 629 337(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1100 0000 1011 1110 0110 0100 1000 1011 0000 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 629 337(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1100 0000 1011 1110 0110 0100 1000 1011 0000 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 18 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 629 337(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1100 0000 1011 1110 0110 0100 1000 1011 0000 00(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1100 0000 1011 1110 0110 0100 1000 1011 0000 00(2) × 20 =

1,1111 1111 1111 1111 0000 0010 1111 1001 1001 0010 0010 1100 0000(2) × 2-18


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -18

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1111 1111 0000 0010 1111 1001 1001 0010 0010 1100 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-18 + 2(11-1) - 1 =

(-18 + 1 023)(10) =

1 005(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 005 : 2 = 502 + 1;
  • 502 : 2 = 251 + 0;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1005(10) =

011 1110 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1111 1111 0000 0010 1111 1001 1001 0010 0010 1100 0000 =

1111 1111 1111 1111 0000 0010 1111 1001 1001 0010 0010 1100 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1101

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1111 1111 0000 0010 1111 1001 1001 0010 0010 1100 0000


Numărul zecimal 0,000 007 629 337 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1101 - 1111 1111 1111 1111 0000 0010 1111 1001 1001 0010 0010 1100 0000

Distribuie

» Scriere 0,000 007 629 347 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100