0,000 016 689 300 503 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 016 689 300 503(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 016 689 300 503(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 016 689 300 503.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 016 689 300 503 × 2 = 0 + 0,000 033 378 601 006;
  • 2) 0,000 033 378 601 006 × 2 = 0 + 0,000 066 757 202 012;
  • 3) 0,000 066 757 202 012 × 2 = 0 + 0,000 133 514 404 024;
  • 4) 0,000 133 514 404 024 × 2 = 0 + 0,000 267 028 808 048;
  • 5) 0,000 267 028 808 048 × 2 = 0 + 0,000 534 057 616 096;
  • 6) 0,000 534 057 616 096 × 2 = 0 + 0,001 068 115 232 192;
  • 7) 0,001 068 115 232 192 × 2 = 0 + 0,002 136 230 464 384;
  • 8) 0,002 136 230 464 384 × 2 = 0 + 0,004 272 460 928 768;
  • 9) 0,004 272 460 928 768 × 2 = 0 + 0,008 544 921 857 536;
  • 10) 0,008 544 921 857 536 × 2 = 0 + 0,017 089 843 715 072;
  • 11) 0,017 089 843 715 072 × 2 = 0 + 0,034 179 687 430 144;
  • 12) 0,034 179 687 430 144 × 2 = 0 + 0,068 359 374 860 288;
  • 13) 0,068 359 374 860 288 × 2 = 0 + 0,136 718 749 720 576;
  • 14) 0,136 718 749 720 576 × 2 = 0 + 0,273 437 499 441 152;
  • 15) 0,273 437 499 441 152 × 2 = 0 + 0,546 874 998 882 304;
  • 16) 0,546 874 998 882 304 × 2 = 1 + 0,093 749 997 764 608;
  • 17) 0,093 749 997 764 608 × 2 = 0 + 0,187 499 995 529 216;
  • 18) 0,187 499 995 529 216 × 2 = 0 + 0,374 999 991 058 432;
  • 19) 0,374 999 991 058 432 × 2 = 0 + 0,749 999 982 116 864;
  • 20) 0,749 999 982 116 864 × 2 = 1 + 0,499 999 964 233 728;
  • 21) 0,499 999 964 233 728 × 2 = 0 + 0,999 999 928 467 456;
  • 22) 0,999 999 928 467 456 × 2 = 1 + 0,999 999 856 934 912;
  • 23) 0,999 999 856 934 912 × 2 = 1 + 0,999 999 713 869 824;
  • 24) 0,999 999 713 869 824 × 2 = 1 + 0,999 999 427 739 648;
  • 25) 0,999 999 427 739 648 × 2 = 1 + 0,999 998 855 479 296;
  • 26) 0,999 998 855 479 296 × 2 = 1 + 0,999 997 710 958 592;
  • 27) 0,999 997 710 958 592 × 2 = 1 + 0,999 995 421 917 184;
  • 28) 0,999 995 421 917 184 × 2 = 1 + 0,999 990 843 834 368;
  • 29) 0,999 990 843 834 368 × 2 = 1 + 0,999 981 687 668 736;
  • 30) 0,999 981 687 668 736 × 2 = 1 + 0,999 963 375 337 472;
  • 31) 0,999 963 375 337 472 × 2 = 1 + 0,999 926 750 674 944;
  • 32) 0,999 926 750 674 944 × 2 = 1 + 0,999 853 501 349 888;
  • 33) 0,999 853 501 349 888 × 2 = 1 + 0,999 707 002 699 776;
  • 34) 0,999 707 002 699 776 × 2 = 1 + 0,999 414 005 399 552;
  • 35) 0,999 414 005 399 552 × 2 = 1 + 0,998 828 010 799 104;
  • 36) 0,998 828 010 799 104 × 2 = 1 + 0,997 656 021 598 208;
  • 37) 0,997 656 021 598 208 × 2 = 1 + 0,995 312 043 196 416;
  • 38) 0,995 312 043 196 416 × 2 = 1 + 0,990 624 086 392 832;
  • 39) 0,990 624 086 392 832 × 2 = 1 + 0,981 248 172 785 664;
  • 40) 0,981 248 172 785 664 × 2 = 1 + 0,962 496 345 571 328;
  • 41) 0,962 496 345 571 328 × 2 = 1 + 0,924 992 691 142 656;
  • 42) 0,924 992 691 142 656 × 2 = 1 + 0,849 985 382 285 312;
  • 43) 0,849 985 382 285 312 × 2 = 1 + 0,699 970 764 570 624;
  • 44) 0,699 970 764 570 624 × 2 = 1 + 0,399 941 529 141 248;
  • 45) 0,399 941 529 141 248 × 2 = 0 + 0,799 883 058 282 496;
  • 46) 0,799 883 058 282 496 × 2 = 1 + 0,599 766 116 564 992;
  • 47) 0,599 766 116 564 992 × 2 = 1 + 0,199 532 233 129 984;
  • 48) 0,199 532 233 129 984 × 2 = 0 + 0,399 064 466 259 968;
  • 49) 0,399 064 466 259 968 × 2 = 0 + 0,798 128 932 519 936;
  • 50) 0,798 128 932 519 936 × 2 = 1 + 0,596 257 865 039 872;
  • 51) 0,596 257 865 039 872 × 2 = 1 + 0,192 515 730 079 744;
  • 52) 0,192 515 730 079 744 × 2 = 0 + 0,385 031 460 159 488;
  • 53) 0,385 031 460 159 488 × 2 = 0 + 0,770 062 920 318 976;
  • 54) 0,770 062 920 318 976 × 2 = 1 + 0,540 125 840 637 952;
  • 55) 0,540 125 840 637 952 × 2 = 1 + 0,080 251 681 275 904;
  • 56) 0,080 251 681 275 904 × 2 = 0 + 0,160 503 362 551 808;
  • 57) 0,160 503 362 551 808 × 2 = 0 + 0,321 006 725 103 616;
  • 58) 0,321 006 725 103 616 × 2 = 0 + 0,642 013 450 207 232;
  • 59) 0,642 013 450 207 232 × 2 = 1 + 0,284 026 900 414 464;
  • 60) 0,284 026 900 414 464 × 2 = 0 + 0,568 053 800 828 928;
  • 61) 0,568 053 800 828 928 × 2 = 1 + 0,136 107 601 657 856;
  • 62) 0,136 107 601 657 856 × 2 = 0 + 0,272 215 203 315 712;
  • 63) 0,272 215 203 315 712 × 2 = 0 + 0,544 430 406 631 424;
  • 64) 0,544 430 406 631 424 × 2 = 1 + 0,088 860 813 262 848;
  • 65) 0,088 860 813 262 848 × 2 = 0 + 0,177 721 626 525 696;
  • 66) 0,177 721 626 525 696 × 2 = 0 + 0,355 443 253 051 392;
  • 67) 0,355 443 253 051 392 × 2 = 0 + 0,710 886 506 102 784;
  • 68) 0,710 886 506 102 784 × 2 = 1 + 0,421 773 012 205 568;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 016 689 300 503(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 016 689 300 503(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 016 689 300 503(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001(2) =

0,0000 0000 0000 0001 0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001(2) × 20 =

1,0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001(2) × 2-16


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -16

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-16 + 2(11-1) - 1 =

(-16 + 1 023)(10) =

1 007(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 007 : 2 = 503 + 1;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1007(10) =

011 1110 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001 =

0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1111

Mantisă (52 biți) =
0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001


Numărul zecimal 0,000 016 689 300 503 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1111 - 0001 0111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 0110 0010 1001 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 016 689 300 57 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100