0,000 021 969 253 328 06 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 021 969 253 328 06(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 021 969 253 328 06(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 021 969 253 328 06.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 021 969 253 328 06 × 2 = 0 + 0,000 043 938 506 656 12;
  • 2) 0,000 043 938 506 656 12 × 2 = 0 + 0,000 087 877 013 312 24;
  • 3) 0,000 087 877 013 312 24 × 2 = 0 + 0,000 175 754 026 624 48;
  • 4) 0,000 175 754 026 624 48 × 2 = 0 + 0,000 351 508 053 248 96;
  • 5) 0,000 351 508 053 248 96 × 2 = 0 + 0,000 703 016 106 497 92;
  • 6) 0,000 703 016 106 497 92 × 2 = 0 + 0,001 406 032 212 995 84;
  • 7) 0,001 406 032 212 995 84 × 2 = 0 + 0,002 812 064 425 991 68;
  • 8) 0,002 812 064 425 991 68 × 2 = 0 + 0,005 624 128 851 983 36;
  • 9) 0,005 624 128 851 983 36 × 2 = 0 + 0,011 248 257 703 966 72;
  • 10) 0,011 248 257 703 966 72 × 2 = 0 + 0,022 496 515 407 933 44;
  • 11) 0,022 496 515 407 933 44 × 2 = 0 + 0,044 993 030 815 866 88;
  • 12) 0,044 993 030 815 866 88 × 2 = 0 + 0,089 986 061 631 733 76;
  • 13) 0,089 986 061 631 733 76 × 2 = 0 + 0,179 972 123 263 467 52;
  • 14) 0,179 972 123 263 467 52 × 2 = 0 + 0,359 944 246 526 935 04;
  • 15) 0,359 944 246 526 935 04 × 2 = 0 + 0,719 888 493 053 870 08;
  • 16) 0,719 888 493 053 870 08 × 2 = 1 + 0,439 776 986 107 740 16;
  • 17) 0,439 776 986 107 740 16 × 2 = 0 + 0,879 553 972 215 480 32;
  • 18) 0,879 553 972 215 480 32 × 2 = 1 + 0,759 107 944 430 960 64;
  • 19) 0,759 107 944 430 960 64 × 2 = 1 + 0,518 215 888 861 921 28;
  • 20) 0,518 215 888 861 921 28 × 2 = 1 + 0,036 431 777 723 842 56;
  • 21) 0,036 431 777 723 842 56 × 2 = 0 + 0,072 863 555 447 685 12;
  • 22) 0,072 863 555 447 685 12 × 2 = 0 + 0,145 727 110 895 370 24;
  • 23) 0,145 727 110 895 370 24 × 2 = 0 + 0,291 454 221 790 740 48;
  • 24) 0,291 454 221 790 740 48 × 2 = 0 + 0,582 908 443 581 480 96;
  • 25) 0,582 908 443 581 480 96 × 2 = 1 + 0,165 816 887 162 961 92;
  • 26) 0,165 816 887 162 961 92 × 2 = 0 + 0,331 633 774 325 923 84;
  • 27) 0,331 633 774 325 923 84 × 2 = 0 + 0,663 267 548 651 847 68;
  • 28) 0,663 267 548 651 847 68 × 2 = 1 + 0,326 535 097 303 695 36;
  • 29) 0,326 535 097 303 695 36 × 2 = 0 + 0,653 070 194 607 390 72;
  • 30) 0,653 070 194 607 390 72 × 2 = 1 + 0,306 140 389 214 781 44;
  • 31) 0,306 140 389 214 781 44 × 2 = 0 + 0,612 280 778 429 562 88;
  • 32) 0,612 280 778 429 562 88 × 2 = 1 + 0,224 561 556 859 125 76;
  • 33) 0,224 561 556 859 125 76 × 2 = 0 + 0,449 123 113 718 251 52;
  • 34) 0,449 123 113 718 251 52 × 2 = 0 + 0,898 246 227 436 503 04;
  • 35) 0,898 246 227 436 503 04 × 2 = 1 + 0,796 492 454 873 006 08;
  • 36) 0,796 492 454 873 006 08 × 2 = 1 + 0,592 984 909 746 012 16;
  • 37) 0,592 984 909 746 012 16 × 2 = 1 + 0,185 969 819 492 024 32;
  • 38) 0,185 969 819 492 024 32 × 2 = 0 + 0,371 939 638 984 048 64;
  • 39) 0,371 939 638 984 048 64 × 2 = 0 + 0,743 879 277 968 097 28;
  • 40) 0,743 879 277 968 097 28 × 2 = 1 + 0,487 758 555 936 194 56;
  • 41) 0,487 758 555 936 194 56 × 2 = 0 + 0,975 517 111 872 389 12;
  • 42) 0,975 517 111 872 389 12 × 2 = 1 + 0,951 034 223 744 778 24;
  • 43) 0,951 034 223 744 778 24 × 2 = 1 + 0,902 068 447 489 556 48;
  • 44) 0,902 068 447 489 556 48 × 2 = 1 + 0,804 136 894 979 112 96;
  • 45) 0,804 136 894 979 112 96 × 2 = 1 + 0,608 273 789 958 225 92;
  • 46) 0,608 273 789 958 225 92 × 2 = 1 + 0,216 547 579 916 451 84;
  • 47) 0,216 547 579 916 451 84 × 2 = 0 + 0,433 095 159 832 903 68;
  • 48) 0,433 095 159 832 903 68 × 2 = 0 + 0,866 190 319 665 807 36;
  • 49) 0,866 190 319 665 807 36 × 2 = 1 + 0,732 380 639 331 614 72;
  • 50) 0,732 380 639 331 614 72 × 2 = 1 + 0,464 761 278 663 229 44;
  • 51) 0,464 761 278 663 229 44 × 2 = 0 + 0,929 522 557 326 458 88;
  • 52) 0,929 522 557 326 458 88 × 2 = 1 + 0,859 045 114 652 917 76;
  • 53) 0,859 045 114 652 917 76 × 2 = 1 + 0,718 090 229 305 835 52;
  • 54) 0,718 090 229 305 835 52 × 2 = 1 + 0,436 180 458 611 671 04;
  • 55) 0,436 180 458 611 671 04 × 2 = 0 + 0,872 360 917 223 342 08;
  • 56) 0,872 360 917 223 342 08 × 2 = 1 + 0,744 721 834 446 684 16;
  • 57) 0,744 721 834 446 684 16 × 2 = 1 + 0,489 443 668 893 368 32;
  • 58) 0,489 443 668 893 368 32 × 2 = 0 + 0,978 887 337 786 736 64;
  • 59) 0,978 887 337 786 736 64 × 2 = 1 + 0,957 774 675 573 473 28;
  • 60) 0,957 774 675 573 473 28 × 2 = 1 + 0,915 549 351 146 946 56;
  • 61) 0,915 549 351 146 946 56 × 2 = 1 + 0,831 098 702 293 893 12;
  • 62) 0,831 098 702 293 893 12 × 2 = 1 + 0,662 197 404 587 786 24;
  • 63) 0,662 197 404 587 786 24 × 2 = 1 + 0,324 394 809 175 572 48;
  • 64) 0,324 394 809 175 572 48 × 2 = 0 + 0,648 789 618 351 144 96;
  • 65) 0,648 789 618 351 144 96 × 2 = 1 + 0,297 579 236 702 289 92;
  • 66) 0,297 579 236 702 289 92 × 2 = 0 + 0,595 158 473 404 579 84;
  • 67) 0,595 158 473 404 579 84 × 2 = 1 + 0,190 316 946 809 159 68;
  • 68) 0,190 316 946 809 159 68 × 2 = 0 + 0,380 633 893 618 319 36;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 021 969 253 328 06(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 021 969 253 328 06(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 021 969 253 328 06(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010(2) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010(2) × 20 =

1,0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010(2) × 2-16


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -16

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-16 + 2(11-1) - 1 =

(-16 + 1 023)(10) =

1 007(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 007 : 2 = 503 + 1;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1007(10) =

011 1110 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010 =

0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1111

Mantisă (52 biți) =
0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010


Numărul zecimal 0,000 021 969 253 328 06 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1111 - 0111 0000 1001 0101 0011 1001 0111 1100 1101 1101 1011 1110 1010

» Scriere 0,000 021 969 253 327 81 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100