0,000 025 656 91 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 025 656 91(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 025 656 91(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 025 656 91.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 025 656 91 × 2 = 0 + 0,000 051 313 82;
  • 2) 0,000 051 313 82 × 2 = 0 + 0,000 102 627 64;
  • 3) 0,000 102 627 64 × 2 = 0 + 0,000 205 255 28;
  • 4) 0,000 205 255 28 × 2 = 0 + 0,000 410 510 56;
  • 5) 0,000 410 510 56 × 2 = 0 + 0,000 821 021 12;
  • 6) 0,000 821 021 12 × 2 = 0 + 0,001 642 042 24;
  • 7) 0,001 642 042 24 × 2 = 0 + 0,003 284 084 48;
  • 8) 0,003 284 084 48 × 2 = 0 + 0,006 568 168 96;
  • 9) 0,006 568 168 96 × 2 = 0 + 0,013 136 337 92;
  • 10) 0,013 136 337 92 × 2 = 0 + 0,026 272 675 84;
  • 11) 0,026 272 675 84 × 2 = 0 + 0,052 545 351 68;
  • 12) 0,052 545 351 68 × 2 = 0 + 0,105 090 703 36;
  • 13) 0,105 090 703 36 × 2 = 0 + 0,210 181 406 72;
  • 14) 0,210 181 406 72 × 2 = 0 + 0,420 362 813 44;
  • 15) 0,420 362 813 44 × 2 = 0 + 0,840 725 626 88;
  • 16) 0,840 725 626 88 × 2 = 1 + 0,681 451 253 76;
  • 17) 0,681 451 253 76 × 2 = 1 + 0,362 902 507 52;
  • 18) 0,362 902 507 52 × 2 = 0 + 0,725 805 015 04;
  • 19) 0,725 805 015 04 × 2 = 1 + 0,451 610 030 08;
  • 20) 0,451 610 030 08 × 2 = 0 + 0,903 220 060 16;
  • 21) 0,903 220 060 16 × 2 = 1 + 0,806 440 120 32;
  • 22) 0,806 440 120 32 × 2 = 1 + 0,612 880 240 64;
  • 23) 0,612 880 240 64 × 2 = 1 + 0,225 760 481 28;
  • 24) 0,225 760 481 28 × 2 = 0 + 0,451 520 962 56;
  • 25) 0,451 520 962 56 × 2 = 0 + 0,903 041 925 12;
  • 26) 0,903 041 925 12 × 2 = 1 + 0,806 083 850 24;
  • 27) 0,806 083 850 24 × 2 = 1 + 0,612 167 700 48;
  • 28) 0,612 167 700 48 × 2 = 1 + 0,224 335 400 96;
  • 29) 0,224 335 400 96 × 2 = 0 + 0,448 670 801 92;
  • 30) 0,448 670 801 92 × 2 = 0 + 0,897 341 603 84;
  • 31) 0,897 341 603 84 × 2 = 1 + 0,794 683 207 68;
  • 32) 0,794 683 207 68 × 2 = 1 + 0,589 366 415 36;
  • 33) 0,589 366 415 36 × 2 = 1 + 0,178 732 830 72;
  • 34) 0,178 732 830 72 × 2 = 0 + 0,357 465 661 44;
  • 35) 0,357 465 661 44 × 2 = 0 + 0,714 931 322 88;
  • 36) 0,714 931 322 88 × 2 = 1 + 0,429 862 645 76;
  • 37) 0,429 862 645 76 × 2 = 0 + 0,859 725 291 52;
  • 38) 0,859 725 291 52 × 2 = 1 + 0,719 450 583 04;
  • 39) 0,719 450 583 04 × 2 = 1 + 0,438 901 166 08;
  • 40) 0,438 901 166 08 × 2 = 0 + 0,877 802 332 16;
  • 41) 0,877 802 332 16 × 2 = 1 + 0,755 604 664 32;
  • 42) 0,755 604 664 32 × 2 = 1 + 0,511 209 328 64;
  • 43) 0,511 209 328 64 × 2 = 1 + 0,022 418 657 28;
  • 44) 0,022 418 657 28 × 2 = 0 + 0,044 837 314 56;
  • 45) 0,044 837 314 56 × 2 = 0 + 0,089 674 629 12;
  • 46) 0,089 674 629 12 × 2 = 0 + 0,179 349 258 24;
  • 47) 0,179 349 258 24 × 2 = 0 + 0,358 698 516 48;
  • 48) 0,358 698 516 48 × 2 = 0 + 0,717 397 032 96;
  • 49) 0,717 397 032 96 × 2 = 1 + 0,434 794 065 92;
  • 50) 0,434 794 065 92 × 2 = 0 + 0,869 588 131 84;
  • 51) 0,869 588 131 84 × 2 = 1 + 0,739 176 263 68;
  • 52) 0,739 176 263 68 × 2 = 1 + 0,478 352 527 36;
  • 53) 0,478 352 527 36 × 2 = 0 + 0,956 705 054 72;
  • 54) 0,956 705 054 72 × 2 = 1 + 0,913 410 109 44;
  • 55) 0,913 410 109 44 × 2 = 1 + 0,826 820 218 88;
  • 56) 0,826 820 218 88 × 2 = 1 + 0,653 640 437 76;
  • 57) 0,653 640 437 76 × 2 = 1 + 0,307 280 875 52;
  • 58) 0,307 280 875 52 × 2 = 0 + 0,614 561 751 04;
  • 59) 0,614 561 751 04 × 2 = 1 + 0,229 123 502 08;
  • 60) 0,229 123 502 08 × 2 = 0 + 0,458 247 004 16;
  • 61) 0,458 247 004 16 × 2 = 0 + 0,916 494 008 32;
  • 62) 0,916 494 008 32 × 2 = 1 + 0,832 988 016 64;
  • 63) 0,832 988 016 64 × 2 = 1 + 0,665 976 033 28;
  • 64) 0,665 976 033 28 × 2 = 1 + 0,331 952 066 56;
  • 65) 0,331 952 066 56 × 2 = 0 + 0,663 904 133 12;
  • 66) 0,663 904 133 12 × 2 = 1 + 0,327 808 266 24;
  • 67) 0,327 808 266 24 × 2 = 0 + 0,655 616 532 48;
  • 68) 0,655 616 532 48 × 2 = 1 + 0,311 233 064 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 025 656 91(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 025 656 91(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 025 656 91(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101(2) =

0,0000 0000 0000 0001 1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101(2) × 20 =

1,1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101(2) × 2-16


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -16

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-16 + 2(11-1) - 1 =

(-16 + 1 023)(10) =

1 007(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 007 : 2 = 503 + 1;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1007(10) =

011 1110 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101 =

1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1111

Mantisă (52 biți) =
1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101


Numărul zecimal 0,000 025 656 91 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1111 - 1010 1110 0111 0011 1001 0110 1110 0000 1011 0111 1010 0111 0101

» Scriere 0,000 025 657 85 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100