0,000 030 227 005 481 587 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 030 227 005 481 587(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 030 227 005 481 587(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 030 227 005 481 587.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 030 227 005 481 587 × 2 = 0 + 0,000 060 454 010 963 174;
  • 2) 0,000 060 454 010 963 174 × 2 = 0 + 0,000 120 908 021 926 348;
  • 3) 0,000 120 908 021 926 348 × 2 = 0 + 0,000 241 816 043 852 696;
  • 4) 0,000 241 816 043 852 696 × 2 = 0 + 0,000 483 632 087 705 392;
  • 5) 0,000 483 632 087 705 392 × 2 = 0 + 0,000 967 264 175 410 784;
  • 6) 0,000 967 264 175 410 784 × 2 = 0 + 0,001 934 528 350 821 568;
  • 7) 0,001 934 528 350 821 568 × 2 = 0 + 0,003 869 056 701 643 136;
  • 8) 0,003 869 056 701 643 136 × 2 = 0 + 0,007 738 113 403 286 272;
  • 9) 0,007 738 113 403 286 272 × 2 = 0 + 0,015 476 226 806 572 544;
  • 10) 0,015 476 226 806 572 544 × 2 = 0 + 0,030 952 453 613 145 088;
  • 11) 0,030 952 453 613 145 088 × 2 = 0 + 0,061 904 907 226 290 176;
  • 12) 0,061 904 907 226 290 176 × 2 = 0 + 0,123 809 814 452 580 352;
  • 13) 0,123 809 814 452 580 352 × 2 = 0 + 0,247 619 628 905 160 704;
  • 14) 0,247 619 628 905 160 704 × 2 = 0 + 0,495 239 257 810 321 408;
  • 15) 0,495 239 257 810 321 408 × 2 = 0 + 0,990 478 515 620 642 816;
  • 16) 0,990 478 515 620 642 816 × 2 = 1 + 0,980 957 031 241 285 632;
  • 17) 0,980 957 031 241 285 632 × 2 = 1 + 0,961 914 062 482 571 264;
  • 18) 0,961 914 062 482 571 264 × 2 = 1 + 0,923 828 124 965 142 528;
  • 19) 0,923 828 124 965 142 528 × 2 = 1 + 0,847 656 249 930 285 056;
  • 20) 0,847 656 249 930 285 056 × 2 = 1 + 0,695 312 499 860 570 112;
  • 21) 0,695 312 499 860 570 112 × 2 = 1 + 0,390 624 999 721 140 224;
  • 22) 0,390 624 999 721 140 224 × 2 = 0 + 0,781 249 999 442 280 448;
  • 23) 0,781 249 999 442 280 448 × 2 = 1 + 0,562 499 998 884 560 896;
  • 24) 0,562 499 998 884 560 896 × 2 = 1 + 0,124 999 997 769 121 792;
  • 25) 0,124 999 997 769 121 792 × 2 = 0 + 0,249 999 995 538 243 584;
  • 26) 0,249 999 995 538 243 584 × 2 = 0 + 0,499 999 991 076 487 168;
  • 27) 0,499 999 991 076 487 168 × 2 = 0 + 0,999 999 982 152 974 336;
  • 28) 0,999 999 982 152 974 336 × 2 = 1 + 0,999 999 964 305 948 672;
  • 29) 0,999 999 964 305 948 672 × 2 = 1 + 0,999 999 928 611 897 344;
  • 30) 0,999 999 928 611 897 344 × 2 = 1 + 0,999 999 857 223 794 688;
  • 31) 0,999 999 857 223 794 688 × 2 = 1 + 0,999 999 714 447 589 376;
  • 32) 0,999 999 714 447 589 376 × 2 = 1 + 0,999 999 428 895 178 752;
  • 33) 0,999 999 428 895 178 752 × 2 = 1 + 0,999 998 857 790 357 504;
  • 34) 0,999 998 857 790 357 504 × 2 = 1 + 0,999 997 715 580 715 008;
  • 35) 0,999 997 715 580 715 008 × 2 = 1 + 0,999 995 431 161 430 016;
  • 36) 0,999 995 431 161 430 016 × 2 = 1 + 0,999 990 862 322 860 032;
  • 37) 0,999 990 862 322 860 032 × 2 = 1 + 0,999 981 724 645 720 064;
  • 38) 0,999 981 724 645 720 064 × 2 = 1 + 0,999 963 449 291 440 128;
  • 39) 0,999 963 449 291 440 128 × 2 = 1 + 0,999 926 898 582 880 256;
  • 40) 0,999 926 898 582 880 256 × 2 = 1 + 0,999 853 797 165 760 512;
  • 41) 0,999 853 797 165 760 512 × 2 = 1 + 0,999 707 594 331 521 024;
  • 42) 0,999 707 594 331 521 024 × 2 = 1 + 0,999 415 188 663 042 048;
  • 43) 0,999 415 188 663 042 048 × 2 = 1 + 0,998 830 377 326 084 096;
  • 44) 0,998 830 377 326 084 096 × 2 = 1 + 0,997 660 754 652 168 192;
  • 45) 0,997 660 754 652 168 192 × 2 = 1 + 0,995 321 509 304 336 384;
  • 46) 0,995 321 509 304 336 384 × 2 = 1 + 0,990 643 018 608 672 768;
  • 47) 0,990 643 018 608 672 768 × 2 = 1 + 0,981 286 037 217 345 536;
  • 48) 0,981 286 037 217 345 536 × 2 = 1 + 0,962 572 074 434 691 072;
  • 49) 0,962 572 074 434 691 072 × 2 = 1 + 0,925 144 148 869 382 144;
  • 50) 0,925 144 148 869 382 144 × 2 = 1 + 0,850 288 297 738 764 288;
  • 51) 0,850 288 297 738 764 288 × 2 = 1 + 0,700 576 595 477 528 576;
  • 52) 0,700 576 595 477 528 576 × 2 = 1 + 0,401 153 190 955 057 152;
  • 53) 0,401 153 190 955 057 152 × 2 = 0 + 0,802 306 381 910 114 304;
  • 54) 0,802 306 381 910 114 304 × 2 = 1 + 0,604 612 763 820 228 608;
  • 55) 0,604 612 763 820 228 608 × 2 = 1 + 0,209 225 527 640 457 216;
  • 56) 0,209 225 527 640 457 216 × 2 = 0 + 0,418 451 055 280 914 432;
  • 57) 0,418 451 055 280 914 432 × 2 = 0 + 0,836 902 110 561 828 864;
  • 58) 0,836 902 110 561 828 864 × 2 = 1 + 0,673 804 221 123 657 728;
  • 59) 0,673 804 221 123 657 728 × 2 = 1 + 0,347 608 442 247 315 456;
  • 60) 0,347 608 442 247 315 456 × 2 = 0 + 0,695 216 884 494 630 912;
  • 61) 0,695 216 884 494 630 912 × 2 = 1 + 0,390 433 768 989 261 824;
  • 62) 0,390 433 768 989 261 824 × 2 = 0 + 0,780 867 537 978 523 648;
  • 63) 0,780 867 537 978 523 648 × 2 = 1 + 0,561 735 075 957 047 296;
  • 64) 0,561 735 075 957 047 296 × 2 = 1 + 0,123 470 151 914 094 592;
  • 65) 0,123 470 151 914 094 592 × 2 = 0 + 0,246 940 303 828 189 184;
  • 66) 0,246 940 303 828 189 184 × 2 = 0 + 0,493 880 607 656 378 368;
  • 67) 0,493 880 607 656 378 368 × 2 = 0 + 0,987 761 215 312 756 736;
  • 68) 0,987 761 215 312 756 736 × 2 = 1 + 0,975 522 430 625 513 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 030 227 005 481 587(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 030 227 005 481 587(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 030 227 005 481 587(10) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001(2) =

0,0000 0000 0000 0001 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001(2) × 20 =

1,1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001(2) × 2-16


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -16

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-16 + 2(11-1) - 1 =

(-16 + 1 023)(10) =

1 007(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 007 : 2 = 503 + 1;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1007(10) =

011 1110 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001 =

1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1111

Mantisă (52 biți) =
1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001


Numărul zecimal 0,000 030 227 005 481 587 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1110 1111 - 1111 1011 0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0110 1011 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 030 227 005 481 598 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100