0,000 043 765 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 043 765 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 043 765 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 043 765 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 043 765 7 × 2 = 0 + 0,000 087 531 4;
  • 2) 0,000 087 531 4 × 2 = 0 + 0,000 175 062 8;
  • 3) 0,000 175 062 8 × 2 = 0 + 0,000 350 125 6;
  • 4) 0,000 350 125 6 × 2 = 0 + 0,000 700 251 2;
  • 5) 0,000 700 251 2 × 2 = 0 + 0,001 400 502 4;
  • 6) 0,001 400 502 4 × 2 = 0 + 0,002 801 004 8;
  • 7) 0,002 801 004 8 × 2 = 0 + 0,005 602 009 6;
  • 8) 0,005 602 009 6 × 2 = 0 + 0,011 204 019 2;
  • 9) 0,011 204 019 2 × 2 = 0 + 0,022 408 038 4;
  • 10) 0,022 408 038 4 × 2 = 0 + 0,044 816 076 8;
  • 11) 0,044 816 076 8 × 2 = 0 + 0,089 632 153 6;
  • 12) 0,089 632 153 6 × 2 = 0 + 0,179 264 307 2;
  • 13) 0,179 264 307 2 × 2 = 0 + 0,358 528 614 4;
  • 14) 0,358 528 614 4 × 2 = 0 + 0,717 057 228 8;
  • 15) 0,717 057 228 8 × 2 = 1 + 0,434 114 457 6;
  • 16) 0,434 114 457 6 × 2 = 0 + 0,868 228 915 2;
  • 17) 0,868 228 915 2 × 2 = 1 + 0,736 457 830 4;
  • 18) 0,736 457 830 4 × 2 = 1 + 0,472 915 660 8;
  • 19) 0,472 915 660 8 × 2 = 0 + 0,945 831 321 6;
  • 20) 0,945 831 321 6 × 2 = 1 + 0,891 662 643 2;
  • 21) 0,891 662 643 2 × 2 = 1 + 0,783 325 286 4;
  • 22) 0,783 325 286 4 × 2 = 1 + 0,566 650 572 8;
  • 23) 0,566 650 572 8 × 2 = 1 + 0,133 301 145 6;
  • 24) 0,133 301 145 6 × 2 = 0 + 0,266 602 291 2;
  • 25) 0,266 602 291 2 × 2 = 0 + 0,533 204 582 4;
  • 26) 0,533 204 582 4 × 2 = 1 + 0,066 409 164 8;
  • 27) 0,066 409 164 8 × 2 = 0 + 0,132 818 329 6;
  • 28) 0,132 818 329 6 × 2 = 0 + 0,265 636 659 2;
  • 29) 0,265 636 659 2 × 2 = 0 + 0,531 273 318 4;
  • 30) 0,531 273 318 4 × 2 = 1 + 0,062 546 636 8;
  • 31) 0,062 546 636 8 × 2 = 0 + 0,125 093 273 6;
  • 32) 0,125 093 273 6 × 2 = 0 + 0,250 186 547 2;
  • 33) 0,250 186 547 2 × 2 = 0 + 0,500 373 094 4;
  • 34) 0,500 373 094 4 × 2 = 1 + 0,000 746 188 8;
  • 35) 0,000 746 188 8 × 2 = 0 + 0,001 492 377 6;
  • 36) 0,001 492 377 6 × 2 = 0 + 0,002 984 755 2;
  • 37) 0,002 984 755 2 × 2 = 0 + 0,005 969 510 4;
  • 38) 0,005 969 510 4 × 2 = 0 + 0,011 939 020 8;
  • 39) 0,011 939 020 8 × 2 = 0 + 0,023 878 041 6;
  • 40) 0,023 878 041 6 × 2 = 0 + 0,047 756 083 2;
  • 41) 0,047 756 083 2 × 2 = 0 + 0,095 512 166 4;
  • 42) 0,095 512 166 4 × 2 = 0 + 0,191 024 332 8;
  • 43) 0,191 024 332 8 × 2 = 0 + 0,382 048 665 6;
  • 44) 0,382 048 665 6 × 2 = 0 + 0,764 097 331 2;
  • 45) 0,764 097 331 2 × 2 = 1 + 0,528 194 662 4;
  • 46) 0,528 194 662 4 × 2 = 1 + 0,056 389 324 8;
  • 47) 0,056 389 324 8 × 2 = 0 + 0,112 778 649 6;
  • 48) 0,112 778 649 6 × 2 = 0 + 0,225 557 299 2;
  • 49) 0,225 557 299 2 × 2 = 0 + 0,451 114 598 4;
  • 50) 0,451 114 598 4 × 2 = 0 + 0,902 229 196 8;
  • 51) 0,902 229 196 8 × 2 = 1 + 0,804 458 393 6;
  • 52) 0,804 458 393 6 × 2 = 1 + 0,608 916 787 2;
  • 53) 0,608 916 787 2 × 2 = 1 + 0,217 833 574 4;
  • 54) 0,217 833 574 4 × 2 = 0 + 0,435 667 148 8;
  • 55) 0,435 667 148 8 × 2 = 0 + 0,871 334 297 6;
  • 56) 0,871 334 297 6 × 2 = 1 + 0,742 668 595 2;
  • 57) 0,742 668 595 2 × 2 = 1 + 0,485 337 190 4;
  • 58) 0,485 337 190 4 × 2 = 0 + 0,970 674 380 8;
  • 59) 0,970 674 380 8 × 2 = 1 + 0,941 348 761 6;
  • 60) 0,941 348 761 6 × 2 = 1 + 0,882 697 523 2;
  • 61) 0,882 697 523 2 × 2 = 1 + 0,765 395 046 4;
  • 62) 0,765 395 046 4 × 2 = 1 + 0,530 790 092 8;
  • 63) 0,530 790 092 8 × 2 = 1 + 0,061 580 185 6;
  • 64) 0,061 580 185 6 × 2 = 0 + 0,123 160 371 2;
  • 65) 0,123 160 371 2 × 2 = 0 + 0,246 320 742 4;
  • 66) 0,246 320 742 4 × 2 = 0 + 0,492 641 484 8;
  • 67) 0,492 641 484 8 × 2 = 0 + 0,985 282 969 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 043 765 7(10) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0100 0100 0100 0000 0000 1100 0011 1001 1011 1110 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 043 765 7(10) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0100 0100 0100 0000 0000 1100 0011 1001 1011 1110 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 043 765 7(10) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0100 0100 0100 0000 0000 1100 0011 1001 1011 1110 000(2) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0100 0100 0100 0000 0000 1100 0011 1001 1011 1110 000(2) × 20 =

1,0110 1111 0010 0010 0010 0000 0000 0110 0001 1100 1101 1111 0000(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1111 0010 0010 0010 0000 0000 0110 0001 1100 1101 1111 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1111 0010 0010 0010 0000 0000 0110 0001 1100 1101 1111 0000 =

0110 1111 0010 0010 0010 0000 0000 0110 0001 1100 1101 1111 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0110 1111 0010 0010 0010 0000 0000 0110 0001 1100 1101 1111 0000


Numărul zecimal 0,000 043 765 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 0110 1111 0010 0010 0010 0000 0000 0110 0001 1100 1101 1111 0000

» Scriere 0,000 043 774 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100