0,000 043 772 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 043 772 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 043 772 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 043 772 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 043 772 2 × 2 = 0 + 0,000 087 544 4;
  • 2) 0,000 087 544 4 × 2 = 0 + 0,000 175 088 8;
  • 3) 0,000 175 088 8 × 2 = 0 + 0,000 350 177 6;
  • 4) 0,000 350 177 6 × 2 = 0 + 0,000 700 355 2;
  • 5) 0,000 700 355 2 × 2 = 0 + 0,001 400 710 4;
  • 6) 0,001 400 710 4 × 2 = 0 + 0,002 801 420 8;
  • 7) 0,002 801 420 8 × 2 = 0 + 0,005 602 841 6;
  • 8) 0,005 602 841 6 × 2 = 0 + 0,011 205 683 2;
  • 9) 0,011 205 683 2 × 2 = 0 + 0,022 411 366 4;
  • 10) 0,022 411 366 4 × 2 = 0 + 0,044 822 732 8;
  • 11) 0,044 822 732 8 × 2 = 0 + 0,089 645 465 6;
  • 12) 0,089 645 465 6 × 2 = 0 + 0,179 290 931 2;
  • 13) 0,179 290 931 2 × 2 = 0 + 0,358 581 862 4;
  • 14) 0,358 581 862 4 × 2 = 0 + 0,717 163 724 8;
  • 15) 0,717 163 724 8 × 2 = 1 + 0,434 327 449 6;
  • 16) 0,434 327 449 6 × 2 = 0 + 0,868 654 899 2;
  • 17) 0,868 654 899 2 × 2 = 1 + 0,737 309 798 4;
  • 18) 0,737 309 798 4 × 2 = 1 + 0,474 619 596 8;
  • 19) 0,474 619 596 8 × 2 = 0 + 0,949 239 193 6;
  • 20) 0,949 239 193 6 × 2 = 1 + 0,898 478 387 2;
  • 21) 0,898 478 387 2 × 2 = 1 + 0,796 956 774 4;
  • 22) 0,796 956 774 4 × 2 = 1 + 0,593 913 548 8;
  • 23) 0,593 913 548 8 × 2 = 1 + 0,187 827 097 6;
  • 24) 0,187 827 097 6 × 2 = 0 + 0,375 654 195 2;
  • 25) 0,375 654 195 2 × 2 = 0 + 0,751 308 390 4;
  • 26) 0,751 308 390 4 × 2 = 1 + 0,502 616 780 8;
  • 27) 0,502 616 780 8 × 2 = 1 + 0,005 233 561 6;
  • 28) 0,005 233 561 6 × 2 = 0 + 0,010 467 123 2;
  • 29) 0,010 467 123 2 × 2 = 0 + 0,020 934 246 4;
  • 30) 0,020 934 246 4 × 2 = 0 + 0,041 868 492 8;
  • 31) 0,041 868 492 8 × 2 = 0 + 0,083 736 985 6;
  • 32) 0,083 736 985 6 × 2 = 0 + 0,167 473 971 2;
  • 33) 0,167 473 971 2 × 2 = 0 + 0,334 947 942 4;
  • 34) 0,334 947 942 4 × 2 = 0 + 0,669 895 884 8;
  • 35) 0,669 895 884 8 × 2 = 1 + 0,339 791 769 6;
  • 36) 0,339 791 769 6 × 2 = 0 + 0,679 583 539 2;
  • 37) 0,679 583 539 2 × 2 = 1 + 0,359 167 078 4;
  • 38) 0,359 167 078 4 × 2 = 0 + 0,718 334 156 8;
  • 39) 0,718 334 156 8 × 2 = 1 + 0,436 668 313 6;
  • 40) 0,436 668 313 6 × 2 = 0 + 0,873 336 627 2;
  • 41) 0,873 336 627 2 × 2 = 1 + 0,746 673 254 4;
  • 42) 0,746 673 254 4 × 2 = 1 + 0,493 346 508 8;
  • 43) 0,493 346 508 8 × 2 = 0 + 0,986 693 017 6;
  • 44) 0,986 693 017 6 × 2 = 1 + 0,973 386 035 2;
  • 45) 0,973 386 035 2 × 2 = 1 + 0,946 772 070 4;
  • 46) 0,946 772 070 4 × 2 = 1 + 0,893 544 140 8;
  • 47) 0,893 544 140 8 × 2 = 1 + 0,787 088 281 6;
  • 48) 0,787 088 281 6 × 2 = 1 + 0,574 176 563 2;
  • 49) 0,574 176 563 2 × 2 = 1 + 0,148 353 126 4;
  • 50) 0,148 353 126 4 × 2 = 0 + 0,296 706 252 8;
  • 51) 0,296 706 252 8 × 2 = 0 + 0,593 412 505 6;
  • 52) 0,593 412 505 6 × 2 = 1 + 0,186 825 011 2;
  • 53) 0,186 825 011 2 × 2 = 0 + 0,373 650 022 4;
  • 54) 0,373 650 022 4 × 2 = 0 + 0,747 300 044 8;
  • 55) 0,747 300 044 8 × 2 = 1 + 0,494 600 089 6;
  • 56) 0,494 600 089 6 × 2 = 0 + 0,989 200 179 2;
  • 57) 0,989 200 179 2 × 2 = 1 + 0,978 400 358 4;
  • 58) 0,978 400 358 4 × 2 = 1 + 0,956 800 716 8;
  • 59) 0,956 800 716 8 × 2 = 1 + 0,913 601 433 6;
  • 60) 0,913 601 433 6 × 2 = 1 + 0,827 202 867 2;
  • 61) 0,827 202 867 2 × 2 = 1 + 0,654 405 734 4;
  • 62) 0,654 405 734 4 × 2 = 1 + 0,308 811 468 8;
  • 63) 0,308 811 468 8 × 2 = 0 + 0,617 622 937 6;
  • 64) 0,617 622 937 6 × 2 = 1 + 0,235 245 875 2;
  • 65) 0,235 245 875 2 × 2 = 0 + 0,470 491 750 4;
  • 66) 0,470 491 750 4 × 2 = 0 + 0,940 983 500 8;
  • 67) 0,940 983 500 8 × 2 = 1 + 0,881 967 001 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 043 772 2(10) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0110 0000 0010 1010 1101 1111 1001 0010 1111 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 043 772 2(10) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0110 0000 0010 1010 1101 1111 1001 0010 1111 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 043 772 2(10) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0110 0000 0010 1010 1101 1111 1001 0010 1111 1101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0010 1101 1110 0110 0000 0010 1010 1101 1111 1001 0010 1111 1101 001(2) × 20 =

1,0110 1111 0011 0000 0001 0101 0110 1111 1100 1001 0111 1110 1001(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1111 0011 0000 0001 0101 0110 1111 1100 1001 0111 1110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1111 0011 0000 0001 0101 0110 1111 1100 1001 0111 1110 1001 =

0110 1111 0011 0000 0001 0101 0110 1111 1100 1001 0111 1110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0110 1111 0011 0000 0001 0101 0110 1111 1100 1001 0111 1110 1001


Numărul zecimal 0,000 043 772 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 0110 1111 0011 0000 0001 0101 0110 1111 1100 1001 0111 1110 1001

» Scriere 0,000 043 766 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100