0,000 046 473 605 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 605(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 605(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 605.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 605 × 2 = 0 + 0,000 092 947 21;
  • 2) 0,000 092 947 21 × 2 = 0 + 0,000 185 894 42;
  • 3) 0,000 185 894 42 × 2 = 0 + 0,000 371 788 84;
  • 4) 0,000 371 788 84 × 2 = 0 + 0,000 743 577 68;
  • 5) 0,000 743 577 68 × 2 = 0 + 0,001 487 155 36;
  • 6) 0,001 487 155 36 × 2 = 0 + 0,002 974 310 72;
  • 7) 0,002 974 310 72 × 2 = 0 + 0,005 948 621 44;
  • 8) 0,005 948 621 44 × 2 = 0 + 0,011 897 242 88;
  • 9) 0,011 897 242 88 × 2 = 0 + 0,023 794 485 76;
  • 10) 0,023 794 485 76 × 2 = 0 + 0,047 588 971 52;
  • 11) 0,047 588 971 52 × 2 = 0 + 0,095 177 943 04;
  • 12) 0,095 177 943 04 × 2 = 0 + 0,190 355 886 08;
  • 13) 0,190 355 886 08 × 2 = 0 + 0,380 711 772 16;
  • 14) 0,380 711 772 16 × 2 = 0 + 0,761 423 544 32;
  • 15) 0,761 423 544 32 × 2 = 1 + 0,522 847 088 64;
  • 16) 0,522 847 088 64 × 2 = 1 + 0,045 694 177 28;
  • 17) 0,045 694 177 28 × 2 = 0 + 0,091 388 354 56;
  • 18) 0,091 388 354 56 × 2 = 0 + 0,182 776 709 12;
  • 19) 0,182 776 709 12 × 2 = 0 + 0,365 553 418 24;
  • 20) 0,365 553 418 24 × 2 = 0 + 0,731 106 836 48;
  • 21) 0,731 106 836 48 × 2 = 1 + 0,462 213 672 96;
  • 22) 0,462 213 672 96 × 2 = 0 + 0,924 427 345 92;
  • 23) 0,924 427 345 92 × 2 = 1 + 0,848 854 691 84;
  • 24) 0,848 854 691 84 × 2 = 1 + 0,697 709 383 68;
  • 25) 0,697 709 383 68 × 2 = 1 + 0,395 418 767 36;
  • 26) 0,395 418 767 36 × 2 = 0 + 0,790 837 534 72;
  • 27) 0,790 837 534 72 × 2 = 1 + 0,581 675 069 44;
  • 28) 0,581 675 069 44 × 2 = 1 + 0,163 350 138 88;
  • 29) 0,163 350 138 88 × 2 = 0 + 0,326 700 277 76;
  • 30) 0,326 700 277 76 × 2 = 0 + 0,653 400 555 52;
  • 31) 0,653 400 555 52 × 2 = 1 + 0,306 801 111 04;
  • 32) 0,306 801 111 04 × 2 = 0 + 0,613 602 222 08;
  • 33) 0,613 602 222 08 × 2 = 1 + 0,227 204 444 16;
  • 34) 0,227 204 444 16 × 2 = 0 + 0,454 408 888 32;
  • 35) 0,454 408 888 32 × 2 = 0 + 0,908 817 776 64;
  • 36) 0,908 817 776 64 × 2 = 1 + 0,817 635 553 28;
  • 37) 0,817 635 553 28 × 2 = 1 + 0,635 271 106 56;
  • 38) 0,635 271 106 56 × 2 = 1 + 0,270 542 213 12;
  • 39) 0,270 542 213 12 × 2 = 0 + 0,541 084 426 24;
  • 40) 0,541 084 426 24 × 2 = 1 + 0,082 168 852 48;
  • 41) 0,082 168 852 48 × 2 = 0 + 0,164 337 704 96;
  • 42) 0,164 337 704 96 × 2 = 0 + 0,328 675 409 92;
  • 43) 0,328 675 409 92 × 2 = 0 + 0,657 350 819 84;
  • 44) 0,657 350 819 84 × 2 = 1 + 0,314 701 639 68;
  • 45) 0,314 701 639 68 × 2 = 0 + 0,629 403 279 36;
  • 46) 0,629 403 279 36 × 2 = 1 + 0,258 806 558 72;
  • 47) 0,258 806 558 72 × 2 = 0 + 0,517 613 117 44;
  • 48) 0,517 613 117 44 × 2 = 1 + 0,035 226 234 88;
  • 49) 0,035 226 234 88 × 2 = 0 + 0,070 452 469 76;
  • 50) 0,070 452 469 76 × 2 = 0 + 0,140 904 939 52;
  • 51) 0,140 904 939 52 × 2 = 0 + 0,281 809 879 04;
  • 52) 0,281 809 879 04 × 2 = 0 + 0,563 619 758 08;
  • 53) 0,563 619 758 08 × 2 = 1 + 0,127 239 516 16;
  • 54) 0,127 239 516 16 × 2 = 0 + 0,254 479 032 32;
  • 55) 0,254 479 032 32 × 2 = 0 + 0,508 958 064 64;
  • 56) 0,508 958 064 64 × 2 = 1 + 0,017 916 129 28;
  • 57) 0,017 916 129 28 × 2 = 0 + 0,035 832 258 56;
  • 58) 0,035 832 258 56 × 2 = 0 + 0,071 664 517 12;
  • 59) 0,071 664 517 12 × 2 = 0 + 0,143 329 034 24;
  • 60) 0,143 329 034 24 × 2 = 0 + 0,286 658 068 48;
  • 61) 0,286 658 068 48 × 2 = 0 + 0,573 316 136 96;
  • 62) 0,573 316 136 96 × 2 = 1 + 0,146 632 273 92;
  • 63) 0,146 632 273 92 × 2 = 0 + 0,293 264 547 84;
  • 64) 0,293 264 547 84 × 2 = 0 + 0,586 529 095 68;
  • 65) 0,586 529 095 68 × 2 = 1 + 0,173 058 191 36;
  • 66) 0,173 058 191 36 × 2 = 0 + 0,346 116 382 72;
  • 67) 0,346 116 382 72 × 2 = 0 + 0,692 232 765 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 605(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 1101 0001 0101 0000 1001 0000 0100 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 605(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 1101 0001 0101 0000 1001 0000 0100 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 605(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 1101 0001 0101 0000 1001 0000 0100 100(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1001 1101 0001 0101 0000 1001 0000 0100 100(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 0100 1110 1000 1010 1000 0100 1000 0010 0100(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 0100 1110 1000 1010 1000 0100 1000 0010 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 0100 1110 1000 1010 1000 0100 1000 0010 0100 =

1000 0101 1101 1001 0100 1110 1000 1010 1000 0100 1000 0010 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 0100 1110 1000 1010 1000 0100 1000 0010 0100


Numărul zecimal 0,000 046 473 605 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 0100 1110 1000 1010 1000 0100 1000 0010 0100

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 696 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100