0,000 046 473 621 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 621(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 621(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 621.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 621 × 2 = 0 + 0,000 092 947 242;
  • 2) 0,000 092 947 242 × 2 = 0 + 0,000 185 894 484;
  • 3) 0,000 185 894 484 × 2 = 0 + 0,000 371 788 968;
  • 4) 0,000 371 788 968 × 2 = 0 + 0,000 743 577 936;
  • 5) 0,000 743 577 936 × 2 = 0 + 0,001 487 155 872;
  • 6) 0,001 487 155 872 × 2 = 0 + 0,002 974 311 744;
  • 7) 0,002 974 311 744 × 2 = 0 + 0,005 948 623 488;
  • 8) 0,005 948 623 488 × 2 = 0 + 0,011 897 246 976;
  • 9) 0,011 897 246 976 × 2 = 0 + 0,023 794 493 952;
  • 10) 0,023 794 493 952 × 2 = 0 + 0,047 588 987 904;
  • 11) 0,047 588 987 904 × 2 = 0 + 0,095 177 975 808;
  • 12) 0,095 177 975 808 × 2 = 0 + 0,190 355 951 616;
  • 13) 0,190 355 951 616 × 2 = 0 + 0,380 711 903 232;
  • 14) 0,380 711 903 232 × 2 = 0 + 0,761 423 806 464;
  • 15) 0,761 423 806 464 × 2 = 1 + 0,522 847 612 928;
  • 16) 0,522 847 612 928 × 2 = 1 + 0,045 695 225 856;
  • 17) 0,045 695 225 856 × 2 = 0 + 0,091 390 451 712;
  • 18) 0,091 390 451 712 × 2 = 0 + 0,182 780 903 424;
  • 19) 0,182 780 903 424 × 2 = 0 + 0,365 561 806 848;
  • 20) 0,365 561 806 848 × 2 = 0 + 0,731 123 613 696;
  • 21) 0,731 123 613 696 × 2 = 1 + 0,462 247 227 392;
  • 22) 0,462 247 227 392 × 2 = 0 + 0,924 494 454 784;
  • 23) 0,924 494 454 784 × 2 = 1 + 0,848 988 909 568;
  • 24) 0,848 988 909 568 × 2 = 1 + 0,697 977 819 136;
  • 25) 0,697 977 819 136 × 2 = 1 + 0,395 955 638 272;
  • 26) 0,395 955 638 272 × 2 = 0 + 0,791 911 276 544;
  • 27) 0,791 911 276 544 × 2 = 1 + 0,583 822 553 088;
  • 28) 0,583 822 553 088 × 2 = 1 + 0,167 645 106 176;
  • 29) 0,167 645 106 176 × 2 = 0 + 0,335 290 212 352;
  • 30) 0,335 290 212 352 × 2 = 0 + 0,670 580 424 704;
  • 31) 0,670 580 424 704 × 2 = 1 + 0,341 160 849 408;
  • 32) 0,341 160 849 408 × 2 = 0 + 0,682 321 698 816;
  • 33) 0,682 321 698 816 × 2 = 1 + 0,364 643 397 632;
  • 34) 0,364 643 397 632 × 2 = 0 + 0,729 286 795 264;
  • 35) 0,729 286 795 264 × 2 = 1 + 0,458 573 590 528;
  • 36) 0,458 573 590 528 × 2 = 0 + 0,917 147 181 056;
  • 37) 0,917 147 181 056 × 2 = 1 + 0,834 294 362 112;
  • 38) 0,834 294 362 112 × 2 = 1 + 0,668 588 724 224;
  • 39) 0,668 588 724 224 × 2 = 1 + 0,337 177 448 448;
  • 40) 0,337 177 448 448 × 2 = 0 + 0,674 354 896 896;
  • 41) 0,674 354 896 896 × 2 = 1 + 0,348 709 793 792;
  • 42) 0,348 709 793 792 × 2 = 0 + 0,697 419 587 584;
  • 43) 0,697 419 587 584 × 2 = 1 + 0,394 839 175 168;
  • 44) 0,394 839 175 168 × 2 = 0 + 0,789 678 350 336;
  • 45) 0,789 678 350 336 × 2 = 1 + 0,579 356 700 672;
  • 46) 0,579 356 700 672 × 2 = 1 + 0,158 713 401 344;
  • 47) 0,158 713 401 344 × 2 = 0 + 0,317 426 802 688;
  • 48) 0,317 426 802 688 × 2 = 0 + 0,634 853 605 376;
  • 49) 0,634 853 605 376 × 2 = 1 + 0,269 707 210 752;
  • 50) 0,269 707 210 752 × 2 = 0 + 0,539 414 421 504;
  • 51) 0,539 414 421 504 × 2 = 1 + 0,078 828 843 008;
  • 52) 0,078 828 843 008 × 2 = 0 + 0,157 657 686 016;
  • 53) 0,157 657 686 016 × 2 = 0 + 0,315 315 372 032;
  • 54) 0,315 315 372 032 × 2 = 0 + 0,630 630 744 064;
  • 55) 0,630 630 744 064 × 2 = 1 + 0,261 261 488 128;
  • 56) 0,261 261 488 128 × 2 = 0 + 0,522 522 976 256;
  • 57) 0,522 522 976 256 × 2 = 1 + 0,045 045 952 512;
  • 58) 0,045 045 952 512 × 2 = 0 + 0,090 091 905 024;
  • 59) 0,090 091 905 024 × 2 = 0 + 0,180 183 810 048;
  • 60) 0,180 183 810 048 × 2 = 0 + 0,360 367 620 096;
  • 61) 0,360 367 620 096 × 2 = 0 + 0,720 735 240 192;
  • 62) 0,720 735 240 192 × 2 = 1 + 0,441 470 480 384;
  • 63) 0,441 470 480 384 × 2 = 0 + 0,882 940 960 768;
  • 64) 0,882 940 960 768 × 2 = 1 + 0,765 881 921 536;
  • 65) 0,765 881 921 536 × 2 = 1 + 0,531 763 843 072;
  • 66) 0,531 763 843 072 × 2 = 1 + 0,063 527 686 144;
  • 67) 0,063 527 686 144 × 2 = 0 + 0,127 055 372 288;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 621(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1010 1110 1010 1100 1010 0010 1000 0101 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 621(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1010 1110 1010 1100 1010 0010 1000 0101 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 621(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1010 1110 1010 1100 1010 0010 1000 0101 110(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0010 1010 1110 1010 1100 1010 0010 1000 0101 110(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 0101 0111 0101 0110 0101 0001 0100 0010 1110(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 0101 0111 0101 0110 0101 0001 0100 0010 1110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 0101 0111 0101 0110 0101 0001 0100 0010 1110 =

1000 0101 1101 1001 0101 0111 0101 0110 0101 0001 0100 0010 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 0101 0111 0101 0110 0101 0001 0100 0010 1110


Numărul zecimal 0,000 046 473 621 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 0101 0111 0101 0110 0101 0001 0100 0010 1110

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 654 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100