0,000 046 473 737 954 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 737 954 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 737 954 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 737 954 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 737 954 5 × 2 = 0 + 0,000 092 947 475 909;
  • 2) 0,000 092 947 475 909 × 2 = 0 + 0,000 185 894 951 818;
  • 3) 0,000 185 894 951 818 × 2 = 0 + 0,000 371 789 903 636;
  • 4) 0,000 371 789 903 636 × 2 = 0 + 0,000 743 579 807 272;
  • 5) 0,000 743 579 807 272 × 2 = 0 + 0,001 487 159 614 544;
  • 6) 0,001 487 159 614 544 × 2 = 0 + 0,002 974 319 229 088;
  • 7) 0,002 974 319 229 088 × 2 = 0 + 0,005 948 638 458 176;
  • 8) 0,005 948 638 458 176 × 2 = 0 + 0,011 897 276 916 352;
  • 9) 0,011 897 276 916 352 × 2 = 0 + 0,023 794 553 832 704;
  • 10) 0,023 794 553 832 704 × 2 = 0 + 0,047 589 107 665 408;
  • 11) 0,047 589 107 665 408 × 2 = 0 + 0,095 178 215 330 816;
  • 12) 0,095 178 215 330 816 × 2 = 0 + 0,190 356 430 661 632;
  • 13) 0,190 356 430 661 632 × 2 = 0 + 0,380 712 861 323 264;
  • 14) 0,380 712 861 323 264 × 2 = 0 + 0,761 425 722 646 528;
  • 15) 0,761 425 722 646 528 × 2 = 1 + 0,522 851 445 293 056;
  • 16) 0,522 851 445 293 056 × 2 = 1 + 0,045 702 890 586 112;
  • 17) 0,045 702 890 586 112 × 2 = 0 + 0,091 405 781 172 224;
  • 18) 0,091 405 781 172 224 × 2 = 0 + 0,182 811 562 344 448;
  • 19) 0,182 811 562 344 448 × 2 = 0 + 0,365 623 124 688 896;
  • 20) 0,365 623 124 688 896 × 2 = 0 + 0,731 246 249 377 792;
  • 21) 0,731 246 249 377 792 × 2 = 1 + 0,462 492 498 755 584;
  • 22) 0,462 492 498 755 584 × 2 = 0 + 0,924 984 997 511 168;
  • 23) 0,924 984 997 511 168 × 2 = 1 + 0,849 969 995 022 336;
  • 24) 0,849 969 995 022 336 × 2 = 1 + 0,699 939 990 044 672;
  • 25) 0,699 939 990 044 672 × 2 = 1 + 0,399 879 980 089 344;
  • 26) 0,399 879 980 089 344 × 2 = 0 + 0,799 759 960 178 688;
  • 27) 0,799 759 960 178 688 × 2 = 1 + 0,599 519 920 357 376;
  • 28) 0,599 519 920 357 376 × 2 = 1 + 0,199 039 840 714 752;
  • 29) 0,199 039 840 714 752 × 2 = 0 + 0,398 079 681 429 504;
  • 30) 0,398 079 681 429 504 × 2 = 0 + 0,796 159 362 859 008;
  • 31) 0,796 159 362 859 008 × 2 = 1 + 0,592 318 725 718 016;
  • 32) 0,592 318 725 718 016 × 2 = 1 + 0,184 637 451 436 032;
  • 33) 0,184 637 451 436 032 × 2 = 0 + 0,369 274 902 872 064;
  • 34) 0,369 274 902 872 064 × 2 = 0 + 0,738 549 805 744 128;
  • 35) 0,738 549 805 744 128 × 2 = 1 + 0,477 099 611 488 256;
  • 36) 0,477 099 611 488 256 × 2 = 0 + 0,954 199 222 976 512;
  • 37) 0,954 199 222 976 512 × 2 = 1 + 0,908 398 445 953 024;
  • 38) 0,908 398 445 953 024 × 2 = 1 + 0,816 796 891 906 048;
  • 39) 0,816 796 891 906 048 × 2 = 1 + 0,633 593 783 812 096;
  • 40) 0,633 593 783 812 096 × 2 = 1 + 0,267 187 567 624 192;
  • 41) 0,267 187 567 624 192 × 2 = 0 + 0,534 375 135 248 384;
  • 42) 0,534 375 135 248 384 × 2 = 1 + 0,068 750 270 496 768;
  • 43) 0,068 750 270 496 768 × 2 = 0 + 0,137 500 540 993 536;
  • 44) 0,137 500 540 993 536 × 2 = 0 + 0,275 001 081 987 072;
  • 45) 0,275 001 081 987 072 × 2 = 0 + 0,550 002 163 974 144;
  • 46) 0,550 002 163 974 144 × 2 = 1 + 0,100 004 327 948 288;
  • 47) 0,100 004 327 948 288 × 2 = 0 + 0,200 008 655 896 576;
  • 48) 0,200 008 655 896 576 × 2 = 0 + 0,400 017 311 793 152;
  • 49) 0,400 017 311 793 152 × 2 = 0 + 0,800 034 623 586 304;
  • 50) 0,800 034 623 586 304 × 2 = 1 + 0,600 069 247 172 608;
  • 51) 0,600 069 247 172 608 × 2 = 1 + 0,200 138 494 345 216;
  • 52) 0,200 138 494 345 216 × 2 = 0 + 0,400 276 988 690 432;
  • 53) 0,400 276 988 690 432 × 2 = 0 + 0,800 553 977 380 864;
  • 54) 0,800 553 977 380 864 × 2 = 1 + 0,601 107 954 761 728;
  • 55) 0,601 107 954 761 728 × 2 = 1 + 0,202 215 909 523 456;
  • 56) 0,202 215 909 523 456 × 2 = 0 + 0,404 431 819 046 912;
  • 57) 0,404 431 819 046 912 × 2 = 0 + 0,808 863 638 093 824;
  • 58) 0,808 863 638 093 824 × 2 = 1 + 0,617 727 276 187 648;
  • 59) 0,617 727 276 187 648 × 2 = 1 + 0,235 454 552 375 296;
  • 60) 0,235 454 552 375 296 × 2 = 0 + 0,470 909 104 750 592;
  • 61) 0,470 909 104 750 592 × 2 = 0 + 0,941 818 209 501 184;
  • 62) 0,941 818 209 501 184 × 2 = 1 + 0,883 636 419 002 368;
  • 63) 0,883 636 419 002 368 × 2 = 1 + 0,767 272 838 004 736;
  • 64) 0,767 272 838 004 736 × 2 = 1 + 0,534 545 676 009 472;
  • 65) 0,534 545 676 009 472 × 2 = 1 + 0,069 091 352 018 944;
  • 66) 0,069 091 352 018 944 × 2 = 0 + 0,138 182 704 037 888;
  • 67) 0,138 182 704 037 888 × 2 = 0 + 0,276 365 408 075 776;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 737 954 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 0110 0110 0111 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 737 954 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 0110 0110 0111 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 737 954 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 0110 0110 0111 100(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 0110 0110 0111 100(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0011 0011 0011 1100(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0011 0011 0011 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0011 0011 0011 1100 =

1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0011 0011 0011 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0011 0011 0011 1100


Numărul zecimal 0,000 046 473 737 954 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0011 0011 0011 1100

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 737 961 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100