0,000 046 473 737 954 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 737 954 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 737 954 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 737 954 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 737 954 6 × 2 = 0 + 0,000 092 947 475 909 2;
  • 2) 0,000 092 947 475 909 2 × 2 = 0 + 0,000 185 894 951 818 4;
  • 3) 0,000 185 894 951 818 4 × 2 = 0 + 0,000 371 789 903 636 8;
  • 4) 0,000 371 789 903 636 8 × 2 = 0 + 0,000 743 579 807 273 6;
  • 5) 0,000 743 579 807 273 6 × 2 = 0 + 0,001 487 159 614 547 2;
  • 6) 0,001 487 159 614 547 2 × 2 = 0 + 0,002 974 319 229 094 4;
  • 7) 0,002 974 319 229 094 4 × 2 = 0 + 0,005 948 638 458 188 8;
  • 8) 0,005 948 638 458 188 8 × 2 = 0 + 0,011 897 276 916 377 6;
  • 9) 0,011 897 276 916 377 6 × 2 = 0 + 0,023 794 553 832 755 2;
  • 10) 0,023 794 553 832 755 2 × 2 = 0 + 0,047 589 107 665 510 4;
  • 11) 0,047 589 107 665 510 4 × 2 = 0 + 0,095 178 215 331 020 8;
  • 12) 0,095 178 215 331 020 8 × 2 = 0 + 0,190 356 430 662 041 6;
  • 13) 0,190 356 430 662 041 6 × 2 = 0 + 0,380 712 861 324 083 2;
  • 14) 0,380 712 861 324 083 2 × 2 = 0 + 0,761 425 722 648 166 4;
  • 15) 0,761 425 722 648 166 4 × 2 = 1 + 0,522 851 445 296 332 8;
  • 16) 0,522 851 445 296 332 8 × 2 = 1 + 0,045 702 890 592 665 6;
  • 17) 0,045 702 890 592 665 6 × 2 = 0 + 0,091 405 781 185 331 2;
  • 18) 0,091 405 781 185 331 2 × 2 = 0 + 0,182 811 562 370 662 4;
  • 19) 0,182 811 562 370 662 4 × 2 = 0 + 0,365 623 124 741 324 8;
  • 20) 0,365 623 124 741 324 8 × 2 = 0 + 0,731 246 249 482 649 6;
  • 21) 0,731 246 249 482 649 6 × 2 = 1 + 0,462 492 498 965 299 2;
  • 22) 0,462 492 498 965 299 2 × 2 = 0 + 0,924 984 997 930 598 4;
  • 23) 0,924 984 997 930 598 4 × 2 = 1 + 0,849 969 995 861 196 8;
  • 24) 0,849 969 995 861 196 8 × 2 = 1 + 0,699 939 991 722 393 6;
  • 25) 0,699 939 991 722 393 6 × 2 = 1 + 0,399 879 983 444 787 2;
  • 26) 0,399 879 983 444 787 2 × 2 = 0 + 0,799 759 966 889 574 4;
  • 27) 0,799 759 966 889 574 4 × 2 = 1 + 0,599 519 933 779 148 8;
  • 28) 0,599 519 933 779 148 8 × 2 = 1 + 0,199 039 867 558 297 6;
  • 29) 0,199 039 867 558 297 6 × 2 = 0 + 0,398 079 735 116 595 2;
  • 30) 0,398 079 735 116 595 2 × 2 = 0 + 0,796 159 470 233 190 4;
  • 31) 0,796 159 470 233 190 4 × 2 = 1 + 0,592 318 940 466 380 8;
  • 32) 0,592 318 940 466 380 8 × 2 = 1 + 0,184 637 880 932 761 6;
  • 33) 0,184 637 880 932 761 6 × 2 = 0 + 0,369 275 761 865 523 2;
  • 34) 0,369 275 761 865 523 2 × 2 = 0 + 0,738 551 523 731 046 4;
  • 35) 0,738 551 523 731 046 4 × 2 = 1 + 0,477 103 047 462 092 8;
  • 36) 0,477 103 047 462 092 8 × 2 = 0 + 0,954 206 094 924 185 6;
  • 37) 0,954 206 094 924 185 6 × 2 = 1 + 0,908 412 189 848 371 2;
  • 38) 0,908 412 189 848 371 2 × 2 = 1 + 0,816 824 379 696 742 4;
  • 39) 0,816 824 379 696 742 4 × 2 = 1 + 0,633 648 759 393 484 8;
  • 40) 0,633 648 759 393 484 8 × 2 = 1 + 0,267 297 518 786 969 6;
  • 41) 0,267 297 518 786 969 6 × 2 = 0 + 0,534 595 037 573 939 2;
  • 42) 0,534 595 037 573 939 2 × 2 = 1 + 0,069 190 075 147 878 4;
  • 43) 0,069 190 075 147 878 4 × 2 = 0 + 0,138 380 150 295 756 8;
  • 44) 0,138 380 150 295 756 8 × 2 = 0 + 0,276 760 300 591 513 6;
  • 45) 0,276 760 300 591 513 6 × 2 = 0 + 0,553 520 601 183 027 2;
  • 46) 0,553 520 601 183 027 2 × 2 = 1 + 0,107 041 202 366 054 4;
  • 47) 0,107 041 202 366 054 4 × 2 = 0 + 0,214 082 404 732 108 8;
  • 48) 0,214 082 404 732 108 8 × 2 = 0 + 0,428 164 809 464 217 6;
  • 49) 0,428 164 809 464 217 6 × 2 = 0 + 0,856 329 618 928 435 2;
  • 50) 0,856 329 618 928 435 2 × 2 = 1 + 0,712 659 237 856 870 4;
  • 51) 0,712 659 237 856 870 4 × 2 = 1 + 0,425 318 475 713 740 8;
  • 52) 0,425 318 475 713 740 8 × 2 = 0 + 0,850 636 951 427 481 6;
  • 53) 0,850 636 951 427 481 6 × 2 = 1 + 0,701 273 902 854 963 2;
  • 54) 0,701 273 902 854 963 2 × 2 = 1 + 0,402 547 805 709 926 4;
  • 55) 0,402 547 805 709 926 4 × 2 = 0 + 0,805 095 611 419 852 8;
  • 56) 0,805 095 611 419 852 8 × 2 = 1 + 0,610 191 222 839 705 6;
  • 57) 0,610 191 222 839 705 6 × 2 = 1 + 0,220 382 445 679 411 2;
  • 58) 0,220 382 445 679 411 2 × 2 = 0 + 0,440 764 891 358 822 4;
  • 59) 0,440 764 891 358 822 4 × 2 = 0 + 0,881 529 782 717 644 8;
  • 60) 0,881 529 782 717 644 8 × 2 = 1 + 0,763 059 565 435 289 6;
  • 61) 0,763 059 565 435 289 6 × 2 = 1 + 0,526 119 130 870 579 2;
  • 62) 0,526 119 130 870 579 2 × 2 = 1 + 0,052 238 261 741 158 4;
  • 63) 0,052 238 261 741 158 4 × 2 = 0 + 0,104 476 523 482 316 8;
  • 64) 0,104 476 523 482 316 8 × 2 = 0 + 0,208 953 046 964 633 6;
  • 65) 0,208 953 046 964 633 6 × 2 = 0 + 0,417 906 093 929 267 2;
  • 66) 0,417 906 093 929 267 2 × 2 = 0 + 0,835 812 187 858 534 4;
  • 67) 0,835 812 187 858 534 4 × 2 = 1 + 0,671 624 375 717 068 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 737 954 6(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 1101 1001 1100 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 737 954 6(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 1101 1001 1100 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 737 954 6(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 1101 1001 1100 001(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 0110 1101 1001 1100 001(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0110 1100 1110 0001(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0110 1100 1110 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0110 1100 1110 0001 =

1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0110 1100 1110 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0110 1100 1110 0001


Numărul zecimal 0,000 046 473 737 954 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0011 0110 1100 1110 0001

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 737 958 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100