0,000 046 473 737 956 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 737 956 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 737 956 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 737 956 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 737 956 2 × 2 = 0 + 0,000 092 947 475 912 4;
  • 2) 0,000 092 947 475 912 4 × 2 = 0 + 0,000 185 894 951 824 8;
  • 3) 0,000 185 894 951 824 8 × 2 = 0 + 0,000 371 789 903 649 6;
  • 4) 0,000 371 789 903 649 6 × 2 = 0 + 0,000 743 579 807 299 2;
  • 5) 0,000 743 579 807 299 2 × 2 = 0 + 0,001 487 159 614 598 4;
  • 6) 0,001 487 159 614 598 4 × 2 = 0 + 0,002 974 319 229 196 8;
  • 7) 0,002 974 319 229 196 8 × 2 = 0 + 0,005 948 638 458 393 6;
  • 8) 0,005 948 638 458 393 6 × 2 = 0 + 0,011 897 276 916 787 2;
  • 9) 0,011 897 276 916 787 2 × 2 = 0 + 0,023 794 553 833 574 4;
  • 10) 0,023 794 553 833 574 4 × 2 = 0 + 0,047 589 107 667 148 8;
  • 11) 0,047 589 107 667 148 8 × 2 = 0 + 0,095 178 215 334 297 6;
  • 12) 0,095 178 215 334 297 6 × 2 = 0 + 0,190 356 430 668 595 2;
  • 13) 0,190 356 430 668 595 2 × 2 = 0 + 0,380 712 861 337 190 4;
  • 14) 0,380 712 861 337 190 4 × 2 = 0 + 0,761 425 722 674 380 8;
  • 15) 0,761 425 722 674 380 8 × 2 = 1 + 0,522 851 445 348 761 6;
  • 16) 0,522 851 445 348 761 6 × 2 = 1 + 0,045 702 890 697 523 2;
  • 17) 0,045 702 890 697 523 2 × 2 = 0 + 0,091 405 781 395 046 4;
  • 18) 0,091 405 781 395 046 4 × 2 = 0 + 0,182 811 562 790 092 8;
  • 19) 0,182 811 562 790 092 8 × 2 = 0 + 0,365 623 125 580 185 6;
  • 20) 0,365 623 125 580 185 6 × 2 = 0 + 0,731 246 251 160 371 2;
  • 21) 0,731 246 251 160 371 2 × 2 = 1 + 0,462 492 502 320 742 4;
  • 22) 0,462 492 502 320 742 4 × 2 = 0 + 0,924 985 004 641 484 8;
  • 23) 0,924 985 004 641 484 8 × 2 = 1 + 0,849 970 009 282 969 6;
  • 24) 0,849 970 009 282 969 6 × 2 = 1 + 0,699 940 018 565 939 2;
  • 25) 0,699 940 018 565 939 2 × 2 = 1 + 0,399 880 037 131 878 4;
  • 26) 0,399 880 037 131 878 4 × 2 = 0 + 0,799 760 074 263 756 8;
  • 27) 0,799 760 074 263 756 8 × 2 = 1 + 0,599 520 148 527 513 6;
  • 28) 0,599 520 148 527 513 6 × 2 = 1 + 0,199 040 297 055 027 2;
  • 29) 0,199 040 297 055 027 2 × 2 = 0 + 0,398 080 594 110 054 4;
  • 30) 0,398 080 594 110 054 4 × 2 = 0 + 0,796 161 188 220 108 8;
  • 31) 0,796 161 188 220 108 8 × 2 = 1 + 0,592 322 376 440 217 6;
  • 32) 0,592 322 376 440 217 6 × 2 = 1 + 0,184 644 752 880 435 2;
  • 33) 0,184 644 752 880 435 2 × 2 = 0 + 0,369 289 505 760 870 4;
  • 34) 0,369 289 505 760 870 4 × 2 = 0 + 0,738 579 011 521 740 8;
  • 35) 0,738 579 011 521 740 8 × 2 = 1 + 0,477 158 023 043 481 6;
  • 36) 0,477 158 023 043 481 6 × 2 = 0 + 0,954 316 046 086 963 2;
  • 37) 0,954 316 046 086 963 2 × 2 = 1 + 0,908 632 092 173 926 4;
  • 38) 0,908 632 092 173 926 4 × 2 = 1 + 0,817 264 184 347 852 8;
  • 39) 0,817 264 184 347 852 8 × 2 = 1 + 0,634 528 368 695 705 6;
  • 40) 0,634 528 368 695 705 6 × 2 = 1 + 0,269 056 737 391 411 2;
  • 41) 0,269 056 737 391 411 2 × 2 = 0 + 0,538 113 474 782 822 4;
  • 42) 0,538 113 474 782 822 4 × 2 = 1 + 0,076 226 949 565 644 8;
  • 43) 0,076 226 949 565 644 8 × 2 = 0 + 0,152 453 899 131 289 6;
  • 44) 0,152 453 899 131 289 6 × 2 = 0 + 0,304 907 798 262 579 2;
  • 45) 0,304 907 798 262 579 2 × 2 = 0 + 0,609 815 596 525 158 4;
  • 46) 0,609 815 596 525 158 4 × 2 = 1 + 0,219 631 193 050 316 8;
  • 47) 0,219 631 193 050 316 8 × 2 = 0 + 0,439 262 386 100 633 6;
  • 48) 0,439 262 386 100 633 6 × 2 = 0 + 0,878 524 772 201 267 2;
  • 49) 0,878 524 772 201 267 2 × 2 = 1 + 0,757 049 544 402 534 4;
  • 50) 0,757 049 544 402 534 4 × 2 = 1 + 0,514 099 088 805 068 8;
  • 51) 0,514 099 088 805 068 8 × 2 = 1 + 0,028 198 177 610 137 6;
  • 52) 0,028 198 177 610 137 6 × 2 = 0 + 0,056 396 355 220 275 2;
  • 53) 0,056 396 355 220 275 2 × 2 = 0 + 0,112 792 710 440 550 4;
  • 54) 0,112 792 710 440 550 4 × 2 = 0 + 0,225 585 420 881 100 8;
  • 55) 0,225 585 420 881 100 8 × 2 = 0 + 0,451 170 841 762 201 6;
  • 56) 0,451 170 841 762 201 6 × 2 = 0 + 0,902 341 683 524 403 2;
  • 57) 0,902 341 683 524 403 2 × 2 = 1 + 0,804 683 367 048 806 4;
  • 58) 0,804 683 367 048 806 4 × 2 = 1 + 0,609 366 734 097 612 8;
  • 59) 0,609 366 734 097 612 8 × 2 = 1 + 0,218 733 468 195 225 6;
  • 60) 0,218 733 468 195 225 6 × 2 = 0 + 0,437 466 936 390 451 2;
  • 61) 0,437 466 936 390 451 2 × 2 = 0 + 0,874 933 872 780 902 4;
  • 62) 0,874 933 872 780 902 4 × 2 = 1 + 0,749 867 745 561 804 8;
  • 63) 0,749 867 745 561 804 8 × 2 = 1 + 0,499 735 491 123 609 6;
  • 64) 0,499 735 491 123 609 6 × 2 = 0 + 0,999 470 982 247 219 2;
  • 65) 0,999 470 982 247 219 2 × 2 = 1 + 0,998 941 964 494 438 4;
  • 66) 0,998 941 964 494 438 4 × 2 = 1 + 0,997 883 928 988 876 8;
  • 67) 0,997 883 928 988 876 8 × 2 = 1 + 0,995 767 857 977 753 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 737 956 2(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 1110 0000 1110 0110 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 737 956 2(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 1110 0000 1110 0110 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 737 956 2(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 1110 0000 1110 0110 111(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0100 1110 0000 1110 0110 111(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0111 0000 0111 0011 0111(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0111 0000 0111 0011 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0111 0000 0111 0011 0111 =

1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0111 0000 0111 0011 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0111 0000 0111 0011 0111


Numărul zecimal 0,000 046 473 737 956 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0010 0111 0000 0111 0011 0111

» Scriere 0,000 046 473 737 952 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100