0,000 046 473 737 964 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 046 473 737 964 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 046 473 737 964 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 046 473 737 964 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 046 473 737 964 1 × 2 = 0 + 0,000 092 947 475 928 2;
  • 2) 0,000 092 947 475 928 2 × 2 = 0 + 0,000 185 894 951 856 4;
  • 3) 0,000 185 894 951 856 4 × 2 = 0 + 0,000 371 789 903 712 8;
  • 4) 0,000 371 789 903 712 8 × 2 = 0 + 0,000 743 579 807 425 6;
  • 5) 0,000 743 579 807 425 6 × 2 = 0 + 0,001 487 159 614 851 2;
  • 6) 0,001 487 159 614 851 2 × 2 = 0 + 0,002 974 319 229 702 4;
  • 7) 0,002 974 319 229 702 4 × 2 = 0 + 0,005 948 638 459 404 8;
  • 8) 0,005 948 638 459 404 8 × 2 = 0 + 0,011 897 276 918 809 6;
  • 9) 0,011 897 276 918 809 6 × 2 = 0 + 0,023 794 553 837 619 2;
  • 10) 0,023 794 553 837 619 2 × 2 = 0 + 0,047 589 107 675 238 4;
  • 11) 0,047 589 107 675 238 4 × 2 = 0 + 0,095 178 215 350 476 8;
  • 12) 0,095 178 215 350 476 8 × 2 = 0 + 0,190 356 430 700 953 6;
  • 13) 0,190 356 430 700 953 6 × 2 = 0 + 0,380 712 861 401 907 2;
  • 14) 0,380 712 861 401 907 2 × 2 = 0 + 0,761 425 722 803 814 4;
  • 15) 0,761 425 722 803 814 4 × 2 = 1 + 0,522 851 445 607 628 8;
  • 16) 0,522 851 445 607 628 8 × 2 = 1 + 0,045 702 891 215 257 6;
  • 17) 0,045 702 891 215 257 6 × 2 = 0 + 0,091 405 782 430 515 2;
  • 18) 0,091 405 782 430 515 2 × 2 = 0 + 0,182 811 564 861 030 4;
  • 19) 0,182 811 564 861 030 4 × 2 = 0 + 0,365 623 129 722 060 8;
  • 20) 0,365 623 129 722 060 8 × 2 = 0 + 0,731 246 259 444 121 6;
  • 21) 0,731 246 259 444 121 6 × 2 = 1 + 0,462 492 518 888 243 2;
  • 22) 0,462 492 518 888 243 2 × 2 = 0 + 0,924 985 037 776 486 4;
  • 23) 0,924 985 037 776 486 4 × 2 = 1 + 0,849 970 075 552 972 8;
  • 24) 0,849 970 075 552 972 8 × 2 = 1 + 0,699 940 151 105 945 6;
  • 25) 0,699 940 151 105 945 6 × 2 = 1 + 0,399 880 302 211 891 2;
  • 26) 0,399 880 302 211 891 2 × 2 = 0 + 0,799 760 604 423 782 4;
  • 27) 0,799 760 604 423 782 4 × 2 = 1 + 0,599 521 208 847 564 8;
  • 28) 0,599 521 208 847 564 8 × 2 = 1 + 0,199 042 417 695 129 6;
  • 29) 0,199 042 417 695 129 6 × 2 = 0 + 0,398 084 835 390 259 2;
  • 30) 0,398 084 835 390 259 2 × 2 = 0 + 0,796 169 670 780 518 4;
  • 31) 0,796 169 670 780 518 4 × 2 = 1 + 0,592 339 341 561 036 8;
  • 32) 0,592 339 341 561 036 8 × 2 = 1 + 0,184 678 683 122 073 6;
  • 33) 0,184 678 683 122 073 6 × 2 = 0 + 0,369 357 366 244 147 2;
  • 34) 0,369 357 366 244 147 2 × 2 = 0 + 0,738 714 732 488 294 4;
  • 35) 0,738 714 732 488 294 4 × 2 = 1 + 0,477 429 464 976 588 8;
  • 36) 0,477 429 464 976 588 8 × 2 = 0 + 0,954 858 929 953 177 6;
  • 37) 0,954 858 929 953 177 6 × 2 = 1 + 0,909 717 859 906 355 2;
  • 38) 0,909 717 859 906 355 2 × 2 = 1 + 0,819 435 719 812 710 4;
  • 39) 0,819 435 719 812 710 4 × 2 = 1 + 0,638 871 439 625 420 8;
  • 40) 0,638 871 439 625 420 8 × 2 = 1 + 0,277 742 879 250 841 6;
  • 41) 0,277 742 879 250 841 6 × 2 = 0 + 0,555 485 758 501 683 2;
  • 42) 0,555 485 758 501 683 2 × 2 = 1 + 0,110 971 517 003 366 4;
  • 43) 0,110 971 517 003 366 4 × 2 = 0 + 0,221 943 034 006 732 8;
  • 44) 0,221 943 034 006 732 8 × 2 = 0 + 0,443 886 068 013 465 6;
  • 45) 0,443 886 068 013 465 6 × 2 = 0 + 0,887 772 136 026 931 2;
  • 46) 0,887 772 136 026 931 2 × 2 = 1 + 0,775 544 272 053 862 4;
  • 47) 0,775 544 272 053 862 4 × 2 = 1 + 0,551 088 544 107 724 8;
  • 48) 0,551 088 544 107 724 8 × 2 = 1 + 0,102 177 088 215 449 6;
  • 49) 0,102 177 088 215 449 6 × 2 = 0 + 0,204 354 176 430 899 2;
  • 50) 0,204 354 176 430 899 2 × 2 = 0 + 0,408 708 352 861 798 4;
  • 51) 0,408 708 352 861 798 4 × 2 = 0 + 0,817 416 705 723 596 8;
  • 52) 0,817 416 705 723 596 8 × 2 = 1 + 0,634 833 411 447 193 6;
  • 53) 0,634 833 411 447 193 6 × 2 = 1 + 0,269 666 822 894 387 2;
  • 54) 0,269 666 822 894 387 2 × 2 = 0 + 0,539 333 645 788 774 4;
  • 55) 0,539 333 645 788 774 4 × 2 = 1 + 0,078 667 291 577 548 8;
  • 56) 0,078 667 291 577 548 8 × 2 = 0 + 0,157 334 583 155 097 6;
  • 57) 0,157 334 583 155 097 6 × 2 = 0 + 0,314 669 166 310 195 2;
  • 58) 0,314 669 166 310 195 2 × 2 = 0 + 0,629 338 332 620 390 4;
  • 59) 0,629 338 332 620 390 4 × 2 = 1 + 0,258 676 665 240 780 8;
  • 60) 0,258 676 665 240 780 8 × 2 = 0 + 0,517 353 330 481 561 6;
  • 61) 0,517 353 330 481 561 6 × 2 = 1 + 0,034 706 660 963 123 2;
  • 62) 0,034 706 660 963 123 2 × 2 = 0 + 0,069 413 321 926 246 4;
  • 63) 0,069 413 321 926 246 4 × 2 = 0 + 0,138 826 643 852 492 8;
  • 64) 0,138 826 643 852 492 8 × 2 = 0 + 0,277 653 287 704 985 6;
  • 65) 0,277 653 287 704 985 6 × 2 = 0 + 0,555 306 575 409 971 2;
  • 66) 0,555 306 575 409 971 2 × 2 = 1 + 0,110 613 150 819 942 4;
  • 67) 0,110 613 150 819 942 4 × 2 = 0 + 0,221 226 301 639 884 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 046 473 737 964 1(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0111 0001 1010 0010 1000 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 046 473 737 964 1(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0111 0001 1010 0010 1000 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 046 473 737 964 1(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0111 0001 1010 0010 1000 010(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0000 1011 1011 0011 0010 1111 0100 0111 0001 1010 0010 1000 010(2) × 20 =

1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 1000 1101 0001 0100 0010(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 1000 1101 0001 0100 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 1000 1101 0001 0100 0010 =

1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 1000 1101 0001 0100 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 1000 1101 0001 0100 0010


Numărul zecimal 0,000 046 473 737 964 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1000 0101 1101 1001 1001 0111 1010 0011 1000 1101 0001 0100 0010

Distribuie

» Scriere 0,000 046 473 737 958 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100