0,000 053 155 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 155 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 155 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 155 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 155 7 × 2 = 0 + 0,000 106 311 4;
  • 2) 0,000 106 311 4 × 2 = 0 + 0,000 212 622 8;
  • 3) 0,000 212 622 8 × 2 = 0 + 0,000 425 245 6;
  • 4) 0,000 425 245 6 × 2 = 0 + 0,000 850 491 2;
  • 5) 0,000 850 491 2 × 2 = 0 + 0,001 700 982 4;
  • 6) 0,001 700 982 4 × 2 = 0 + 0,003 401 964 8;
  • 7) 0,003 401 964 8 × 2 = 0 + 0,006 803 929 6;
  • 8) 0,006 803 929 6 × 2 = 0 + 0,013 607 859 2;
  • 9) 0,013 607 859 2 × 2 = 0 + 0,027 215 718 4;
  • 10) 0,027 215 718 4 × 2 = 0 + 0,054 431 436 8;
  • 11) 0,054 431 436 8 × 2 = 0 + 0,108 862 873 6;
  • 12) 0,108 862 873 6 × 2 = 0 + 0,217 725 747 2;
  • 13) 0,217 725 747 2 × 2 = 0 + 0,435 451 494 4;
  • 14) 0,435 451 494 4 × 2 = 0 + 0,870 902 988 8;
  • 15) 0,870 902 988 8 × 2 = 1 + 0,741 805 977 6;
  • 16) 0,741 805 977 6 × 2 = 1 + 0,483 611 955 2;
  • 17) 0,483 611 955 2 × 2 = 0 + 0,967 223 910 4;
  • 18) 0,967 223 910 4 × 2 = 1 + 0,934 447 820 8;
  • 19) 0,934 447 820 8 × 2 = 1 + 0,868 895 641 6;
  • 20) 0,868 895 641 6 × 2 = 1 + 0,737 791 283 2;
  • 21) 0,737 791 283 2 × 2 = 1 + 0,475 582 566 4;
  • 22) 0,475 582 566 4 × 2 = 0 + 0,951 165 132 8;
  • 23) 0,951 165 132 8 × 2 = 1 + 0,902 330 265 6;
  • 24) 0,902 330 265 6 × 2 = 1 + 0,804 660 531 2;
  • 25) 0,804 660 531 2 × 2 = 1 + 0,609 321 062 4;
  • 26) 0,609 321 062 4 × 2 = 1 + 0,218 642 124 8;
  • 27) 0,218 642 124 8 × 2 = 0 + 0,437 284 249 6;
  • 28) 0,437 284 249 6 × 2 = 0 + 0,874 568 499 2;
  • 29) 0,874 568 499 2 × 2 = 1 + 0,749 136 998 4;
  • 30) 0,749 136 998 4 × 2 = 1 + 0,498 273 996 8;
  • 31) 0,498 273 996 8 × 2 = 0 + 0,996 547 993 6;
  • 32) 0,996 547 993 6 × 2 = 1 + 0,993 095 987 2;
  • 33) 0,993 095 987 2 × 2 = 1 + 0,986 191 974 4;
  • 34) 0,986 191 974 4 × 2 = 1 + 0,972 383 948 8;
  • 35) 0,972 383 948 8 × 2 = 1 + 0,944 767 897 6;
  • 36) 0,944 767 897 6 × 2 = 1 + 0,889 535 795 2;
  • 37) 0,889 535 795 2 × 2 = 1 + 0,779 071 590 4;
  • 38) 0,779 071 590 4 × 2 = 1 + 0,558 143 180 8;
  • 39) 0,558 143 180 8 × 2 = 1 + 0,116 286 361 6;
  • 40) 0,116 286 361 6 × 2 = 0 + 0,232 572 723 2;
  • 41) 0,232 572 723 2 × 2 = 0 + 0,465 145 446 4;
  • 42) 0,465 145 446 4 × 2 = 0 + 0,930 290 892 8;
  • 43) 0,930 290 892 8 × 2 = 1 + 0,860 581 785 6;
  • 44) 0,860 581 785 6 × 2 = 1 + 0,721 163 571 2;
  • 45) 0,721 163 571 2 × 2 = 1 + 0,442 327 142 4;
  • 46) 0,442 327 142 4 × 2 = 0 + 0,884 654 284 8;
  • 47) 0,884 654 284 8 × 2 = 1 + 0,769 308 569 6;
  • 48) 0,769 308 569 6 × 2 = 1 + 0,538 617 139 2;
  • 49) 0,538 617 139 2 × 2 = 1 + 0,077 234 278 4;
  • 50) 0,077 234 278 4 × 2 = 0 + 0,154 468 556 8;
  • 51) 0,154 468 556 8 × 2 = 0 + 0,308 937 113 6;
  • 52) 0,308 937 113 6 × 2 = 0 + 0,617 874 227 2;
  • 53) 0,617 874 227 2 × 2 = 1 + 0,235 748 454 4;
  • 54) 0,235 748 454 4 × 2 = 0 + 0,471 496 908 8;
  • 55) 0,471 496 908 8 × 2 = 0 + 0,942 993 817 6;
  • 56) 0,942 993 817 6 × 2 = 1 + 0,885 987 635 2;
  • 57) 0,885 987 635 2 × 2 = 1 + 0,771 975 270 4;
  • 58) 0,771 975 270 4 × 2 = 1 + 0,543 950 540 8;
  • 59) 0,543 950 540 8 × 2 = 1 + 0,087 901 081 6;
  • 60) 0,087 901 081 6 × 2 = 0 + 0,175 802 163 2;
  • 61) 0,175 802 163 2 × 2 = 0 + 0,351 604 326 4;
  • 62) 0,351 604 326 4 × 2 = 0 + 0,703 208 652 8;
  • 63) 0,703 208 652 8 × 2 = 1 + 0,406 417 305 6;
  • 64) 0,406 417 305 6 × 2 = 0 + 0,812 834 611 2;
  • 65) 0,812 834 611 2 × 2 = 1 + 0,625 669 222 4;
  • 66) 0,625 669 222 4 × 2 = 1 + 0,251 338 444 8;
  • 67) 0,251 338 444 8 × 2 = 0 + 0,502 676 889 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 155 7(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1100 1101 1111 1110 0011 1011 1000 1001 1110 0010 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 155 7(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1100 1101 1111 1110 0011 1011 1000 1001 1110 0010 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 155 7(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1100 1101 1111 1110 0011 1011 1000 1001 1110 0010 110(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1100 1101 1111 1110 0011 1011 1000 1001 1110 0010 110(2) × 20 =

1,1011 1101 1110 0110 1111 1111 0001 1101 1100 0100 1111 0001 0110(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1101 1110 0110 1111 1111 0001 1101 1100 0100 1111 0001 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1101 1110 0110 1111 1111 0001 1101 1100 0100 1111 0001 0110 =

1011 1101 1110 0110 1111 1111 0001 1101 1100 0100 1111 0001 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1101 1110 0110 1111 1111 0001 1101 1100 0100 1111 0001 0110


Numărul zecimal 0,000 053 155 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1101 1110 0110 1111 1111 0001 1101 1100 0100 1111 0001 0110

» Scriere 0,000 053 148 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100