0,000 053 157 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 157 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 157 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 157 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 157 9 × 2 = 0 + 0,000 106 315 8;
  • 2) 0,000 106 315 8 × 2 = 0 + 0,000 212 631 6;
  • 3) 0,000 212 631 6 × 2 = 0 + 0,000 425 263 2;
  • 4) 0,000 425 263 2 × 2 = 0 + 0,000 850 526 4;
  • 5) 0,000 850 526 4 × 2 = 0 + 0,001 701 052 8;
  • 6) 0,001 701 052 8 × 2 = 0 + 0,003 402 105 6;
  • 7) 0,003 402 105 6 × 2 = 0 + 0,006 804 211 2;
  • 8) 0,006 804 211 2 × 2 = 0 + 0,013 608 422 4;
  • 9) 0,013 608 422 4 × 2 = 0 + 0,027 216 844 8;
  • 10) 0,027 216 844 8 × 2 = 0 + 0,054 433 689 6;
  • 11) 0,054 433 689 6 × 2 = 0 + 0,108 867 379 2;
  • 12) 0,108 867 379 2 × 2 = 0 + 0,217 734 758 4;
  • 13) 0,217 734 758 4 × 2 = 0 + 0,435 469 516 8;
  • 14) 0,435 469 516 8 × 2 = 0 + 0,870 939 033 6;
  • 15) 0,870 939 033 6 × 2 = 1 + 0,741 878 067 2;
  • 16) 0,741 878 067 2 × 2 = 1 + 0,483 756 134 4;
  • 17) 0,483 756 134 4 × 2 = 0 + 0,967 512 268 8;
  • 18) 0,967 512 268 8 × 2 = 1 + 0,935 024 537 6;
  • 19) 0,935 024 537 6 × 2 = 1 + 0,870 049 075 2;
  • 20) 0,870 049 075 2 × 2 = 1 + 0,740 098 150 4;
  • 21) 0,740 098 150 4 × 2 = 1 + 0,480 196 300 8;
  • 22) 0,480 196 300 8 × 2 = 0 + 0,960 392 601 6;
  • 23) 0,960 392 601 6 × 2 = 1 + 0,920 785 203 2;
  • 24) 0,920 785 203 2 × 2 = 1 + 0,841 570 406 4;
  • 25) 0,841 570 406 4 × 2 = 1 + 0,683 140 812 8;
  • 26) 0,683 140 812 8 × 2 = 1 + 0,366 281 625 6;
  • 27) 0,366 281 625 6 × 2 = 0 + 0,732 563 251 2;
  • 28) 0,732 563 251 2 × 2 = 1 + 0,465 126 502 4;
  • 29) 0,465 126 502 4 × 2 = 0 + 0,930 253 004 8;
  • 30) 0,930 253 004 8 × 2 = 1 + 0,860 506 009 6;
  • 31) 0,860 506 009 6 × 2 = 1 + 0,721 012 019 2;
  • 32) 0,721 012 019 2 × 2 = 1 + 0,442 024 038 4;
  • 33) 0,442 024 038 4 × 2 = 0 + 0,884 048 076 8;
  • 34) 0,884 048 076 8 × 2 = 1 + 0,768 096 153 6;
  • 35) 0,768 096 153 6 × 2 = 1 + 0,536 192 307 2;
  • 36) 0,536 192 307 2 × 2 = 1 + 0,072 384 614 4;
  • 37) 0,072 384 614 4 × 2 = 0 + 0,144 769 228 8;
  • 38) 0,144 769 228 8 × 2 = 0 + 0,289 538 457 6;
  • 39) 0,289 538 457 6 × 2 = 0 + 0,579 076 915 2;
  • 40) 0,579 076 915 2 × 2 = 1 + 0,158 153 830 4;
  • 41) 0,158 153 830 4 × 2 = 0 + 0,316 307 660 8;
  • 42) 0,316 307 660 8 × 2 = 0 + 0,632 615 321 6;
  • 43) 0,632 615 321 6 × 2 = 1 + 0,265 230 643 2;
  • 44) 0,265 230 643 2 × 2 = 0 + 0,530 461 286 4;
  • 45) 0,530 461 286 4 × 2 = 1 + 0,060 922 572 8;
  • 46) 0,060 922 572 8 × 2 = 0 + 0,121 845 145 6;
  • 47) 0,121 845 145 6 × 2 = 0 + 0,243 690 291 2;
  • 48) 0,243 690 291 2 × 2 = 0 + 0,487 380 582 4;
  • 49) 0,487 380 582 4 × 2 = 0 + 0,974 761 164 8;
  • 50) 0,974 761 164 8 × 2 = 1 + 0,949 522 329 6;
  • 51) 0,949 522 329 6 × 2 = 1 + 0,899 044 659 2;
  • 52) 0,899 044 659 2 × 2 = 1 + 0,798 089 318 4;
  • 53) 0,798 089 318 4 × 2 = 1 + 0,596 178 636 8;
  • 54) 0,596 178 636 8 × 2 = 1 + 0,192 357 273 6;
  • 55) 0,192 357 273 6 × 2 = 0 + 0,384 714 547 2;
  • 56) 0,384 714 547 2 × 2 = 0 + 0,769 429 094 4;
  • 57) 0,769 429 094 4 × 2 = 1 + 0,538 858 188 8;
  • 58) 0,538 858 188 8 × 2 = 1 + 0,077 716 377 6;
  • 59) 0,077 716 377 6 × 2 = 0 + 0,155 432 755 2;
  • 60) 0,155 432 755 2 × 2 = 0 + 0,310 865 510 4;
  • 61) 0,310 865 510 4 × 2 = 0 + 0,621 731 020 8;
  • 62) 0,621 731 020 8 × 2 = 1 + 0,243 462 041 6;
  • 63) 0,243 462 041 6 × 2 = 0 + 0,486 924 083 2;
  • 64) 0,486 924 083 2 × 2 = 0 + 0,973 848 166 4;
  • 65) 0,973 848 166 4 × 2 = 1 + 0,947 696 332 8;
  • 66) 0,947 696 332 8 × 2 = 1 + 0,895 392 665 6;
  • 67) 0,895 392 665 6 × 2 = 1 + 0,790 785 331 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 157 9(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1101 0111 0111 0001 0010 1000 0111 1100 1100 0100 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 157 9(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1101 0111 0111 0001 0010 1000 0111 1100 1100 0100 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 157 9(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1101 0111 0111 0001 0010 1000 0111 1100 1100 0100 111(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1011 1101 0111 0111 0001 0010 1000 0111 1100 1100 0100 111(2) × 20 =

1,1011 1101 1110 1011 1011 1000 1001 0100 0011 1110 0110 0010 0111(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1101 1110 1011 1011 1000 1001 0100 0011 1110 0110 0010 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1101 1110 1011 1011 1000 1001 0100 0011 1110 0110 0010 0111 =

1011 1101 1110 1011 1011 1000 1001 0100 0011 1110 0110 0010 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1101 1110 1011 1011 1000 1001 0100 0011 1110 0110 0010 0111


Numărul zecimal 0,000 053 157 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1101 1110 1011 1011 1000 1001 0100 0011 1110 0110 0010 0111

» Scriere 0,000 053 152 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100