0,000 053 174 85 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 174 85(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 174 85(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 174 85.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 174 85 × 2 = 0 + 0,000 106 349 7;
  • 2) 0,000 106 349 7 × 2 = 0 + 0,000 212 699 4;
  • 3) 0,000 212 699 4 × 2 = 0 + 0,000 425 398 8;
  • 4) 0,000 425 398 8 × 2 = 0 + 0,000 850 797 6;
  • 5) 0,000 850 797 6 × 2 = 0 + 0,001 701 595 2;
  • 6) 0,001 701 595 2 × 2 = 0 + 0,003 403 190 4;
  • 7) 0,003 403 190 4 × 2 = 0 + 0,006 806 380 8;
  • 8) 0,006 806 380 8 × 2 = 0 + 0,013 612 761 6;
  • 9) 0,013 612 761 6 × 2 = 0 + 0,027 225 523 2;
  • 10) 0,027 225 523 2 × 2 = 0 + 0,054 451 046 4;
  • 11) 0,054 451 046 4 × 2 = 0 + 0,108 902 092 8;
  • 12) 0,108 902 092 8 × 2 = 0 + 0,217 804 185 6;
  • 13) 0,217 804 185 6 × 2 = 0 + 0,435 608 371 2;
  • 14) 0,435 608 371 2 × 2 = 0 + 0,871 216 742 4;
  • 15) 0,871 216 742 4 × 2 = 1 + 0,742 433 484 8;
  • 16) 0,742 433 484 8 × 2 = 1 + 0,484 866 969 6;
  • 17) 0,484 866 969 6 × 2 = 0 + 0,969 733 939 2;
  • 18) 0,969 733 939 2 × 2 = 1 + 0,939 467 878 4;
  • 19) 0,939 467 878 4 × 2 = 1 + 0,878 935 756 8;
  • 20) 0,878 935 756 8 × 2 = 1 + 0,757 871 513 6;
  • 21) 0,757 871 513 6 × 2 = 1 + 0,515 743 027 2;
  • 22) 0,515 743 027 2 × 2 = 1 + 0,031 486 054 4;
  • 23) 0,031 486 054 4 × 2 = 0 + 0,062 972 108 8;
  • 24) 0,062 972 108 8 × 2 = 0 + 0,125 944 217 6;
  • 25) 0,125 944 217 6 × 2 = 0 + 0,251 888 435 2;
  • 26) 0,251 888 435 2 × 2 = 0 + 0,503 776 870 4;
  • 27) 0,503 776 870 4 × 2 = 1 + 0,007 553 740 8;
  • 28) 0,007 553 740 8 × 2 = 0 + 0,015 107 481 6;
  • 29) 0,015 107 481 6 × 2 = 0 + 0,030 214 963 2;
  • 30) 0,030 214 963 2 × 2 = 0 + 0,060 429 926 4;
  • 31) 0,060 429 926 4 × 2 = 0 + 0,120 859 852 8;
  • 32) 0,120 859 852 8 × 2 = 0 + 0,241 719 705 6;
  • 33) 0,241 719 705 6 × 2 = 0 + 0,483 439 411 2;
  • 34) 0,483 439 411 2 × 2 = 0 + 0,966 878 822 4;
  • 35) 0,966 878 822 4 × 2 = 1 + 0,933 757 644 8;
  • 36) 0,933 757 644 8 × 2 = 1 + 0,867 515 289 6;
  • 37) 0,867 515 289 6 × 2 = 1 + 0,735 030 579 2;
  • 38) 0,735 030 579 2 × 2 = 1 + 0,470 061 158 4;
  • 39) 0,470 061 158 4 × 2 = 0 + 0,940 122 316 8;
  • 40) 0,940 122 316 8 × 2 = 1 + 0,880 244 633 6;
  • 41) 0,880 244 633 6 × 2 = 1 + 0,760 489 267 2;
  • 42) 0,760 489 267 2 × 2 = 1 + 0,520 978 534 4;
  • 43) 0,520 978 534 4 × 2 = 1 + 0,041 957 068 8;
  • 44) 0,041 957 068 8 × 2 = 0 + 0,083 914 137 6;
  • 45) 0,083 914 137 6 × 2 = 0 + 0,167 828 275 2;
  • 46) 0,167 828 275 2 × 2 = 0 + 0,335 656 550 4;
  • 47) 0,335 656 550 4 × 2 = 0 + 0,671 313 100 8;
  • 48) 0,671 313 100 8 × 2 = 1 + 0,342 626 201 6;
  • 49) 0,342 626 201 6 × 2 = 0 + 0,685 252 403 2;
  • 50) 0,685 252 403 2 × 2 = 1 + 0,370 504 806 4;
  • 51) 0,370 504 806 4 × 2 = 0 + 0,741 009 612 8;
  • 52) 0,741 009 612 8 × 2 = 1 + 0,482 019 225 6;
  • 53) 0,482 019 225 6 × 2 = 0 + 0,964 038 451 2;
  • 54) 0,964 038 451 2 × 2 = 1 + 0,928 076 902 4;
  • 55) 0,928 076 902 4 × 2 = 1 + 0,856 153 804 8;
  • 56) 0,856 153 804 8 × 2 = 1 + 0,712 307 609 6;
  • 57) 0,712 307 609 6 × 2 = 1 + 0,424 615 219 2;
  • 58) 0,424 615 219 2 × 2 = 0 + 0,849 230 438 4;
  • 59) 0,849 230 438 4 × 2 = 1 + 0,698 460 876 8;
  • 60) 0,698 460 876 8 × 2 = 1 + 0,396 921 753 6;
  • 61) 0,396 921 753 6 × 2 = 0 + 0,793 843 507 2;
  • 62) 0,793 843 507 2 × 2 = 1 + 0,587 687 014 4;
  • 63) 0,587 687 014 4 × 2 = 1 + 0,175 374 028 8;
  • 64) 0,175 374 028 8 × 2 = 0 + 0,350 748 057 6;
  • 65) 0,350 748 057 6 × 2 = 0 + 0,701 496 115 2;
  • 66) 0,701 496 115 2 × 2 = 1 + 0,402 992 230 4;
  • 67) 0,402 992 230 4 × 2 = 0 + 0,805 984 460 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 174 85(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 0011 1101 1110 0001 0101 0111 1011 0110 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 174 85(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 0011 1101 1110 0001 0101 0111 1011 0110 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 174 85(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 0011 1101 1110 0001 0101 0111 1011 0110 010(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 0011 1101 1110 0001 0101 0111 1011 0110 010(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0000 0001 1110 1111 0000 1010 1011 1101 1011 0010(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0000 0001 1110 1111 0000 1010 1011 1101 1011 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0000 0001 1110 1111 0000 1010 1011 1101 1011 0010 =

1011 1110 0001 0000 0001 1110 1111 0000 1010 1011 1101 1011 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0000 0001 1110 1111 0000 1010 1011 1101 1011 0010


Numărul zecimal 0,000 053 174 85 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0000 0001 1110 1111 0000 1010 1011 1101 1011 0010

» Scriere 0,000 053 174 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100