0,000 053 174 919 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 174 919 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 174 919 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 174 919 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 174 919 5 × 2 = 0 + 0,000 106 349 839;
  • 2) 0,000 106 349 839 × 2 = 0 + 0,000 212 699 678;
  • 3) 0,000 212 699 678 × 2 = 0 + 0,000 425 399 356;
  • 4) 0,000 425 399 356 × 2 = 0 + 0,000 850 798 712;
  • 5) 0,000 850 798 712 × 2 = 0 + 0,001 701 597 424;
  • 6) 0,001 701 597 424 × 2 = 0 + 0,003 403 194 848;
  • 7) 0,003 403 194 848 × 2 = 0 + 0,006 806 389 696;
  • 8) 0,006 806 389 696 × 2 = 0 + 0,013 612 779 392;
  • 9) 0,013 612 779 392 × 2 = 0 + 0,027 225 558 784;
  • 10) 0,027 225 558 784 × 2 = 0 + 0,054 451 117 568;
  • 11) 0,054 451 117 568 × 2 = 0 + 0,108 902 235 136;
  • 12) 0,108 902 235 136 × 2 = 0 + 0,217 804 470 272;
  • 13) 0,217 804 470 272 × 2 = 0 + 0,435 608 940 544;
  • 14) 0,435 608 940 544 × 2 = 0 + 0,871 217 881 088;
  • 15) 0,871 217 881 088 × 2 = 1 + 0,742 435 762 176;
  • 16) 0,742 435 762 176 × 2 = 1 + 0,484 871 524 352;
  • 17) 0,484 871 524 352 × 2 = 0 + 0,969 743 048 704;
  • 18) 0,969 743 048 704 × 2 = 1 + 0,939 486 097 408;
  • 19) 0,939 486 097 408 × 2 = 1 + 0,878 972 194 816;
  • 20) 0,878 972 194 816 × 2 = 1 + 0,757 944 389 632;
  • 21) 0,757 944 389 632 × 2 = 1 + 0,515 888 779 264;
  • 22) 0,515 888 779 264 × 2 = 1 + 0,031 777 558 528;
  • 23) 0,031 777 558 528 × 2 = 0 + 0,063 555 117 056;
  • 24) 0,063 555 117 056 × 2 = 0 + 0,127 110 234 112;
  • 25) 0,127 110 234 112 × 2 = 0 + 0,254 220 468 224;
  • 26) 0,254 220 468 224 × 2 = 0 + 0,508 440 936 448;
  • 27) 0,508 440 936 448 × 2 = 1 + 0,016 881 872 896;
  • 28) 0,016 881 872 896 × 2 = 0 + 0,033 763 745 792;
  • 29) 0,033 763 745 792 × 2 = 0 + 0,067 527 491 584;
  • 30) 0,067 527 491 584 × 2 = 0 + 0,135 054 983 168;
  • 31) 0,135 054 983 168 × 2 = 0 + 0,270 109 966 336;
  • 32) 0,270 109 966 336 × 2 = 0 + 0,540 219 932 672;
  • 33) 0,540 219 932 672 × 2 = 1 + 0,080 439 865 344;
  • 34) 0,080 439 865 344 × 2 = 0 + 0,160 879 730 688;
  • 35) 0,160 879 730 688 × 2 = 0 + 0,321 759 461 376;
  • 36) 0,321 759 461 376 × 2 = 0 + 0,643 518 922 752;
  • 37) 0,643 518 922 752 × 2 = 1 + 0,287 037 845 504;
  • 38) 0,287 037 845 504 × 2 = 0 + 0,574 075 691 008;
  • 39) 0,574 075 691 008 × 2 = 1 + 0,148 151 382 016;
  • 40) 0,148 151 382 016 × 2 = 0 + 0,296 302 764 032;
  • 41) 0,296 302 764 032 × 2 = 0 + 0,592 605 528 064;
  • 42) 0,592 605 528 064 × 2 = 1 + 0,185 211 056 128;
  • 43) 0,185 211 056 128 × 2 = 0 + 0,370 422 112 256;
  • 44) 0,370 422 112 256 × 2 = 0 + 0,740 844 224 512;
  • 45) 0,740 844 224 512 × 2 = 1 + 0,481 688 449 024;
  • 46) 0,481 688 449 024 × 2 = 0 + 0,963 376 898 048;
  • 47) 0,963 376 898 048 × 2 = 1 + 0,926 753 796 096;
  • 48) 0,926 753 796 096 × 2 = 1 + 0,853 507 592 192;
  • 49) 0,853 507 592 192 × 2 = 1 + 0,707 015 184 384;
  • 50) 0,707 015 184 384 × 2 = 1 + 0,414 030 368 768;
  • 51) 0,414 030 368 768 × 2 = 0 + 0,828 060 737 536;
  • 52) 0,828 060 737 536 × 2 = 1 + 0,656 121 475 072;
  • 53) 0,656 121 475 072 × 2 = 1 + 0,312 242 950 144;
  • 54) 0,312 242 950 144 × 2 = 0 + 0,624 485 900 288;
  • 55) 0,624 485 900 288 × 2 = 1 + 0,248 971 800 576;
  • 56) 0,248 971 800 576 × 2 = 0 + 0,497 943 601 152;
  • 57) 0,497 943 601 152 × 2 = 0 + 0,995 887 202 304;
  • 58) 0,995 887 202 304 × 2 = 1 + 0,991 774 404 608;
  • 59) 0,991 774 404 608 × 2 = 1 + 0,983 548 809 216;
  • 60) 0,983 548 809 216 × 2 = 1 + 0,967 097 618 432;
  • 61) 0,967 097 618 432 × 2 = 1 + 0,934 195 236 864;
  • 62) 0,934 195 236 864 × 2 = 1 + 0,868 390 473 728;
  • 63) 0,868 390 473 728 × 2 = 1 + 0,736 780 947 456;
  • 64) 0,736 780 947 456 × 2 = 1 + 0,473 561 894 912;
  • 65) 0,473 561 894 912 × 2 = 0 + 0,947 123 789 824;
  • 66) 0,947 123 789 824 × 2 = 1 + 0,894 247 579 648;
  • 67) 0,894 247 579 648 × 2 = 1 + 0,788 495 159 296;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 174 919 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 0100 1011 1101 1010 0111 1111 011(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 174 919 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 0100 1011 1101 1010 0111 1111 011(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 174 919 5(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 0100 1011 1101 1010 0111 1111 011(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 0100 1011 1101 1010 0111 1111 011(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0000 0100 0101 0010 0101 1110 1101 0011 1111 1011(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0000 0100 0101 0010 0101 1110 1101 0011 1111 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0000 0100 0101 0010 0101 1110 1101 0011 1111 1011 =

1011 1110 0001 0000 0100 0101 0010 0101 1110 1101 0011 1111 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0000 0100 0101 0010 0101 1110 1101 0011 1111 1011


Numărul zecimal 0,000 053 174 919 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0000 0100 0101 0010 0101 1110 1101 0011 1111 1011

» Scriere 0,000 053 174 915 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100