0,000 053 174 98 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 174 98(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 174 98(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 174 98.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 174 98 × 2 = 0 + 0,000 106 349 96;
  • 2) 0,000 106 349 96 × 2 = 0 + 0,000 212 699 92;
  • 3) 0,000 212 699 92 × 2 = 0 + 0,000 425 399 84;
  • 4) 0,000 425 399 84 × 2 = 0 + 0,000 850 799 68;
  • 5) 0,000 850 799 68 × 2 = 0 + 0,001 701 599 36;
  • 6) 0,001 701 599 36 × 2 = 0 + 0,003 403 198 72;
  • 7) 0,003 403 198 72 × 2 = 0 + 0,006 806 397 44;
  • 8) 0,006 806 397 44 × 2 = 0 + 0,013 612 794 88;
  • 9) 0,013 612 794 88 × 2 = 0 + 0,027 225 589 76;
  • 10) 0,027 225 589 76 × 2 = 0 + 0,054 451 179 52;
  • 11) 0,054 451 179 52 × 2 = 0 + 0,108 902 359 04;
  • 12) 0,108 902 359 04 × 2 = 0 + 0,217 804 718 08;
  • 13) 0,217 804 718 08 × 2 = 0 + 0,435 609 436 16;
  • 14) 0,435 609 436 16 × 2 = 0 + 0,871 218 872 32;
  • 15) 0,871 218 872 32 × 2 = 1 + 0,742 437 744 64;
  • 16) 0,742 437 744 64 × 2 = 1 + 0,484 875 489 28;
  • 17) 0,484 875 489 28 × 2 = 0 + 0,969 750 978 56;
  • 18) 0,969 750 978 56 × 2 = 1 + 0,939 501 957 12;
  • 19) 0,939 501 957 12 × 2 = 1 + 0,879 003 914 24;
  • 20) 0,879 003 914 24 × 2 = 1 + 0,758 007 828 48;
  • 21) 0,758 007 828 48 × 2 = 1 + 0,516 015 656 96;
  • 22) 0,516 015 656 96 × 2 = 1 + 0,032 031 313 92;
  • 23) 0,032 031 313 92 × 2 = 0 + 0,064 062 627 84;
  • 24) 0,064 062 627 84 × 2 = 0 + 0,128 125 255 68;
  • 25) 0,128 125 255 68 × 2 = 0 + 0,256 250 511 36;
  • 26) 0,256 250 511 36 × 2 = 0 + 0,512 501 022 72;
  • 27) 0,512 501 022 72 × 2 = 1 + 0,025 002 045 44;
  • 28) 0,025 002 045 44 × 2 = 0 + 0,050 004 090 88;
  • 29) 0,050 004 090 88 × 2 = 0 + 0,100 008 181 76;
  • 30) 0,100 008 181 76 × 2 = 0 + 0,200 016 363 52;
  • 31) 0,200 016 363 52 × 2 = 0 + 0,400 032 727 04;
  • 32) 0,400 032 727 04 × 2 = 0 + 0,800 065 454 08;
  • 33) 0,800 065 454 08 × 2 = 1 + 0,600 130 908 16;
  • 34) 0,600 130 908 16 × 2 = 1 + 0,200 261 816 32;
  • 35) 0,200 261 816 32 × 2 = 0 + 0,400 523 632 64;
  • 36) 0,400 523 632 64 × 2 = 0 + 0,801 047 265 28;
  • 37) 0,801 047 265 28 × 2 = 1 + 0,602 094 530 56;
  • 38) 0,602 094 530 56 × 2 = 1 + 0,204 189 061 12;
  • 39) 0,204 189 061 12 × 2 = 0 + 0,408 378 122 24;
  • 40) 0,408 378 122 24 × 2 = 0 + 0,816 756 244 48;
  • 41) 0,816 756 244 48 × 2 = 1 + 0,633 512 488 96;
  • 42) 0,633 512 488 96 × 2 = 1 + 0,267 024 977 92;
  • 43) 0,267 024 977 92 × 2 = 0 + 0,534 049 955 84;
  • 44) 0,534 049 955 84 × 2 = 1 + 0,068 099 911 68;
  • 45) 0,068 099 911 68 × 2 = 0 + 0,136 199 823 36;
  • 46) 0,136 199 823 36 × 2 = 0 + 0,272 399 646 72;
  • 47) 0,272 399 646 72 × 2 = 0 + 0,544 799 293 44;
  • 48) 0,544 799 293 44 × 2 = 1 + 0,089 598 586 88;
  • 49) 0,089 598 586 88 × 2 = 0 + 0,179 197 173 76;
  • 50) 0,179 197 173 76 × 2 = 0 + 0,358 394 347 52;
  • 51) 0,358 394 347 52 × 2 = 0 + 0,716 788 695 04;
  • 52) 0,716 788 695 04 × 2 = 1 + 0,433 577 390 08;
  • 53) 0,433 577 390 08 × 2 = 0 + 0,867 154 780 16;
  • 54) 0,867 154 780 16 × 2 = 1 + 0,734 309 560 32;
  • 55) 0,734 309 560 32 × 2 = 1 + 0,468 619 120 64;
  • 56) 0,468 619 120 64 × 2 = 0 + 0,937 238 241 28;
  • 57) 0,937 238 241 28 × 2 = 1 + 0,874 476 482 56;
  • 58) 0,874 476 482 56 × 2 = 1 + 0,748 952 965 12;
  • 59) 0,748 952 965 12 × 2 = 1 + 0,497 905 930 24;
  • 60) 0,497 905 930 24 × 2 = 0 + 0,995 811 860 48;
  • 61) 0,995 811 860 48 × 2 = 1 + 0,991 623 720 96;
  • 62) 0,991 623 720 96 × 2 = 1 + 0,983 247 441 92;
  • 63) 0,983 247 441 92 × 2 = 1 + 0,966 494 883 84;
  • 64) 0,966 494 883 84 × 2 = 1 + 0,932 989 767 68;
  • 65) 0,932 989 767 68 × 2 = 1 + 0,865 979 535 36;
  • 66) 0,865 979 535 36 × 2 = 1 + 0,731 959 070 72;
  • 67) 0,731 959 070 72 × 2 = 1 + 0,463 918 141 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 174 98(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1100 1100 1101 0001 0001 0110 1110 1111 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 174 98(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1100 1100 1101 0001 0001 0110 1110 1111 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 174 98(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1100 1100 1101 0001 0001 0110 1110 1111 111(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1100 1100 1101 0001 0001 0110 1110 1111 111(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0000 0110 0110 0110 1000 1000 1011 0111 0111 1111(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0000 0110 0110 0110 1000 1000 1011 0111 0111 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0000 0110 0110 0110 1000 1000 1011 0111 0111 1111 =

1011 1110 0001 0000 0110 0110 0110 1000 1000 1011 0111 0111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0000 0110 0110 0110 1000 1000 1011 0111 0111 1111


Numărul zecimal 0,000 053 174 98 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0000 0110 0110 0110 1000 1000 1011 0111 0111 1111

» Scriere 0,000 053 175 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100