0,000 053 176 07 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 176 07(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 176 07(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 176 07.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 176 07 × 2 = 0 + 0,000 106 352 14;
  • 2) 0,000 106 352 14 × 2 = 0 + 0,000 212 704 28;
  • 3) 0,000 212 704 28 × 2 = 0 + 0,000 425 408 56;
  • 4) 0,000 425 408 56 × 2 = 0 + 0,000 850 817 12;
  • 5) 0,000 850 817 12 × 2 = 0 + 0,001 701 634 24;
  • 6) 0,001 701 634 24 × 2 = 0 + 0,003 403 268 48;
  • 7) 0,003 403 268 48 × 2 = 0 + 0,006 806 536 96;
  • 8) 0,006 806 536 96 × 2 = 0 + 0,013 613 073 92;
  • 9) 0,013 613 073 92 × 2 = 0 + 0,027 226 147 84;
  • 10) 0,027 226 147 84 × 2 = 0 + 0,054 452 295 68;
  • 11) 0,054 452 295 68 × 2 = 0 + 0,108 904 591 36;
  • 12) 0,108 904 591 36 × 2 = 0 + 0,217 809 182 72;
  • 13) 0,217 809 182 72 × 2 = 0 + 0,435 618 365 44;
  • 14) 0,435 618 365 44 × 2 = 0 + 0,871 236 730 88;
  • 15) 0,871 236 730 88 × 2 = 1 + 0,742 473 461 76;
  • 16) 0,742 473 461 76 × 2 = 1 + 0,484 946 923 52;
  • 17) 0,484 946 923 52 × 2 = 0 + 0,969 893 847 04;
  • 18) 0,969 893 847 04 × 2 = 1 + 0,939 787 694 08;
  • 19) 0,939 787 694 08 × 2 = 1 + 0,879 575 388 16;
  • 20) 0,879 575 388 16 × 2 = 1 + 0,759 150 776 32;
  • 21) 0,759 150 776 32 × 2 = 1 + 0,518 301 552 64;
  • 22) 0,518 301 552 64 × 2 = 1 + 0,036 603 105 28;
  • 23) 0,036 603 105 28 × 2 = 0 + 0,073 206 210 56;
  • 24) 0,073 206 210 56 × 2 = 0 + 0,146 412 421 12;
  • 25) 0,146 412 421 12 × 2 = 0 + 0,292 824 842 24;
  • 26) 0,292 824 842 24 × 2 = 0 + 0,585 649 684 48;
  • 27) 0,585 649 684 48 × 2 = 1 + 0,171 299 368 96;
  • 28) 0,171 299 368 96 × 2 = 0 + 0,342 598 737 92;
  • 29) 0,342 598 737 92 × 2 = 0 + 0,685 197 475 84;
  • 30) 0,685 197 475 84 × 2 = 1 + 0,370 394 951 68;
  • 31) 0,370 394 951 68 × 2 = 0 + 0,740 789 903 36;
  • 32) 0,740 789 903 36 × 2 = 1 + 0,481 579 806 72;
  • 33) 0,481 579 806 72 × 2 = 0 + 0,963 159 613 44;
  • 34) 0,963 159 613 44 × 2 = 1 + 0,926 319 226 88;
  • 35) 0,926 319 226 88 × 2 = 1 + 0,852 638 453 76;
  • 36) 0,852 638 453 76 × 2 = 1 + 0,705 276 907 52;
  • 37) 0,705 276 907 52 × 2 = 1 + 0,410 553 815 04;
  • 38) 0,410 553 815 04 × 2 = 0 + 0,821 107 630 08;
  • 39) 0,821 107 630 08 × 2 = 1 + 0,642 215 260 16;
  • 40) 0,642 215 260 16 × 2 = 1 + 0,284 430 520 32;
  • 41) 0,284 430 520 32 × 2 = 0 + 0,568 861 040 64;
  • 42) 0,568 861 040 64 × 2 = 1 + 0,137 722 081 28;
  • 43) 0,137 722 081 28 × 2 = 0 + 0,275 444 162 56;
  • 44) 0,275 444 162 56 × 2 = 0 + 0,550 888 325 12;
  • 45) 0,550 888 325 12 × 2 = 1 + 0,101 776 650 24;
  • 46) 0,101 776 650 24 × 2 = 0 + 0,203 553 300 48;
  • 47) 0,203 553 300 48 × 2 = 0 + 0,407 106 600 96;
  • 48) 0,407 106 600 96 × 2 = 0 + 0,814 213 201 92;
  • 49) 0,814 213 201 92 × 2 = 1 + 0,628 426 403 84;
  • 50) 0,628 426 403 84 × 2 = 1 + 0,256 852 807 68;
  • 51) 0,256 852 807 68 × 2 = 0 + 0,513 705 615 36;
  • 52) 0,513 705 615 36 × 2 = 1 + 0,027 411 230 72;
  • 53) 0,027 411 230 72 × 2 = 0 + 0,054 822 461 44;
  • 54) 0,054 822 461 44 × 2 = 0 + 0,109 644 922 88;
  • 55) 0,109 644 922 88 × 2 = 0 + 0,219 289 845 76;
  • 56) 0,219 289 845 76 × 2 = 0 + 0,438 579 691 52;
  • 57) 0,438 579 691 52 × 2 = 0 + 0,877 159 383 04;
  • 58) 0,877 159 383 04 × 2 = 1 + 0,754 318 766 08;
  • 59) 0,754 318 766 08 × 2 = 1 + 0,508 637 532 16;
  • 60) 0,508 637 532 16 × 2 = 1 + 0,017 275 064 32;
  • 61) 0,017 275 064 32 × 2 = 0 + 0,034 550 128 64;
  • 62) 0,034 550 128 64 × 2 = 0 + 0,069 100 257 28;
  • 63) 0,069 100 257 28 × 2 = 0 + 0,138 200 514 56;
  • 64) 0,138 200 514 56 × 2 = 0 + 0,276 401 029 12;
  • 65) 0,276 401 029 12 × 2 = 0 + 0,552 802 058 24;
  • 66) 0,552 802 058 24 × 2 = 1 + 0,105 604 116 48;
  • 67) 0,105 604 116 48 × 2 = 0 + 0,211 208 232 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 176 07(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 0111 1011 0100 1000 1101 0000 0111 0000 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 176 07(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 0111 1011 0100 1000 1101 0000 0111 0000 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 176 07(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 0111 1011 0100 1000 1101 0000 0111 0000 010(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0101 0111 1011 0100 1000 1101 0000 0111 0000 010(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0010 1011 1101 1010 0100 0110 1000 0011 1000 0010(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0010 1011 1101 1010 0100 0110 1000 0011 1000 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0010 1011 1101 1010 0100 0110 1000 0011 1000 0010 =

1011 1110 0001 0010 1011 1101 1010 0100 0110 1000 0011 1000 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0010 1011 1101 1010 0100 0110 1000 0011 1000 0010


Numărul zecimal 0,000 053 176 07 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0010 1011 1101 1010 0100 0110 1000 0011 1000 0010

» Scriere 0,000 053 176 09 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100