0,000 053 176 98 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 176 98(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 176 98(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 176 98.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 176 98 × 2 = 0 + 0,000 106 353 96;
  • 2) 0,000 106 353 96 × 2 = 0 + 0,000 212 707 92;
  • 3) 0,000 212 707 92 × 2 = 0 + 0,000 425 415 84;
  • 4) 0,000 425 415 84 × 2 = 0 + 0,000 850 831 68;
  • 5) 0,000 850 831 68 × 2 = 0 + 0,001 701 663 36;
  • 6) 0,001 701 663 36 × 2 = 0 + 0,003 403 326 72;
  • 7) 0,003 403 326 72 × 2 = 0 + 0,006 806 653 44;
  • 8) 0,006 806 653 44 × 2 = 0 + 0,013 613 306 88;
  • 9) 0,013 613 306 88 × 2 = 0 + 0,027 226 613 76;
  • 10) 0,027 226 613 76 × 2 = 0 + 0,054 453 227 52;
  • 11) 0,054 453 227 52 × 2 = 0 + 0,108 906 455 04;
  • 12) 0,108 906 455 04 × 2 = 0 + 0,217 812 910 08;
  • 13) 0,217 812 910 08 × 2 = 0 + 0,435 625 820 16;
  • 14) 0,435 625 820 16 × 2 = 0 + 0,871 251 640 32;
  • 15) 0,871 251 640 32 × 2 = 1 + 0,742 503 280 64;
  • 16) 0,742 503 280 64 × 2 = 1 + 0,485 006 561 28;
  • 17) 0,485 006 561 28 × 2 = 0 + 0,970 013 122 56;
  • 18) 0,970 013 122 56 × 2 = 1 + 0,940 026 245 12;
  • 19) 0,940 026 245 12 × 2 = 1 + 0,880 052 490 24;
  • 20) 0,880 052 490 24 × 2 = 1 + 0,760 104 980 48;
  • 21) 0,760 104 980 48 × 2 = 1 + 0,520 209 960 96;
  • 22) 0,520 209 960 96 × 2 = 1 + 0,040 419 921 92;
  • 23) 0,040 419 921 92 × 2 = 0 + 0,080 839 843 84;
  • 24) 0,080 839 843 84 × 2 = 0 + 0,161 679 687 68;
  • 25) 0,161 679 687 68 × 2 = 0 + 0,323 359 375 36;
  • 26) 0,323 359 375 36 × 2 = 0 + 0,646 718 750 72;
  • 27) 0,646 718 750 72 × 2 = 1 + 0,293 437 501 44;
  • 28) 0,293 437 501 44 × 2 = 0 + 0,586 875 002 88;
  • 29) 0,586 875 002 88 × 2 = 1 + 0,173 750 005 76;
  • 30) 0,173 750 005 76 × 2 = 0 + 0,347 500 011 52;
  • 31) 0,347 500 011 52 × 2 = 0 + 0,695 000 023 04;
  • 32) 0,695 000 023 04 × 2 = 1 + 0,390 000 046 08;
  • 33) 0,390 000 046 08 × 2 = 0 + 0,780 000 092 16;
  • 34) 0,780 000 092 16 × 2 = 1 + 0,560 000 184 32;
  • 35) 0,560 000 184 32 × 2 = 1 + 0,120 000 368 64;
  • 36) 0,120 000 368 64 × 2 = 0 + 0,240 000 737 28;
  • 37) 0,240 000 737 28 × 2 = 0 + 0,480 001 474 56;
  • 38) 0,480 001 474 56 × 2 = 0 + 0,960 002 949 12;
  • 39) 0,960 002 949 12 × 2 = 1 + 0,920 005 898 24;
  • 40) 0,920 005 898 24 × 2 = 1 + 0,840 011 796 48;
  • 41) 0,840 011 796 48 × 2 = 1 + 0,680 023 592 96;
  • 42) 0,680 023 592 96 × 2 = 1 + 0,360 047 185 92;
  • 43) 0,360 047 185 92 × 2 = 0 + 0,720 094 371 84;
  • 44) 0,720 094 371 84 × 2 = 1 + 0,440 188 743 68;
  • 45) 0,440 188 743 68 × 2 = 0 + 0,880 377 487 36;
  • 46) 0,880 377 487 36 × 2 = 1 + 0,760 754 974 72;
  • 47) 0,760 754 974 72 × 2 = 1 + 0,521 509 949 44;
  • 48) 0,521 509 949 44 × 2 = 1 + 0,043 019 898 88;
  • 49) 0,043 019 898 88 × 2 = 0 + 0,086 039 797 76;
  • 50) 0,086 039 797 76 × 2 = 0 + 0,172 079 595 52;
  • 51) 0,172 079 595 52 × 2 = 0 + 0,344 159 191 04;
  • 52) 0,344 159 191 04 × 2 = 0 + 0,688 318 382 08;
  • 53) 0,688 318 382 08 × 2 = 1 + 0,376 636 764 16;
  • 54) 0,376 636 764 16 × 2 = 0 + 0,753 273 528 32;
  • 55) 0,753 273 528 32 × 2 = 1 + 0,506 547 056 64;
  • 56) 0,506 547 056 64 × 2 = 1 + 0,013 094 113 28;
  • 57) 0,013 094 113 28 × 2 = 0 + 0,026 188 226 56;
  • 58) 0,026 188 226 56 × 2 = 0 + 0,052 376 453 12;
  • 59) 0,052 376 453 12 × 2 = 0 + 0,104 752 906 24;
  • 60) 0,104 752 906 24 × 2 = 0 + 0,209 505 812 48;
  • 61) 0,209 505 812 48 × 2 = 0 + 0,419 011 624 96;
  • 62) 0,419 011 624 96 × 2 = 0 + 0,838 023 249 92;
  • 63) 0,838 023 249 92 × 2 = 1 + 0,676 046 499 84;
  • 64) 0,676 046 499 84 × 2 = 1 + 0,352 092 999 68;
  • 65) 0,352 092 999 68 × 2 = 0 + 0,704 185 999 36;
  • 66) 0,704 185 999 36 × 2 = 1 + 0,408 371 998 72;
  • 67) 0,408 371 998 72 × 2 = 0 + 0,816 743 997 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 176 98(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 1001 0110 0011 1101 0111 0000 1011 0000 0011 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 176 98(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 1001 0110 0011 1101 0111 0000 1011 0000 0011 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 176 98(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 1001 0110 0011 1101 0111 0000 1011 0000 0011 010(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 1001 0110 0011 1101 0111 0000 1011 0000 0011 010(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0100 1011 0001 1110 1011 1000 0101 1000 0001 1010(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0100 1011 0001 1110 1011 1000 0101 1000 0001 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0100 1011 0001 1110 1011 1000 0101 1000 0001 1010 =

1011 1110 0001 0100 1011 0001 1110 1011 1000 0101 1000 0001 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0100 1011 0001 1110 1011 1000 0101 1000 0001 1010


Numărul zecimal 0,000 053 176 98 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0100 1011 0001 1110 1011 1000 0101 1000 0001 1010

» Scriere 0,000 053 176 74 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100