0,000 085 06 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 085 06(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 085 06(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 085 06.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 085 06 × 2 = 0 + 0,000 170 12;
  • 2) 0,000 170 12 × 2 = 0 + 0,000 340 24;
  • 3) 0,000 340 24 × 2 = 0 + 0,000 680 48;
  • 4) 0,000 680 48 × 2 = 0 + 0,001 360 96;
  • 5) 0,001 360 96 × 2 = 0 + 0,002 721 92;
  • 6) 0,002 721 92 × 2 = 0 + 0,005 443 84;
  • 7) 0,005 443 84 × 2 = 0 + 0,010 887 68;
  • 8) 0,010 887 68 × 2 = 0 + 0,021 775 36;
  • 9) 0,021 775 36 × 2 = 0 + 0,043 550 72;
  • 10) 0,043 550 72 × 2 = 0 + 0,087 101 44;
  • 11) 0,087 101 44 × 2 = 0 + 0,174 202 88;
  • 12) 0,174 202 88 × 2 = 0 + 0,348 405 76;
  • 13) 0,348 405 76 × 2 = 0 + 0,696 811 52;
  • 14) 0,696 811 52 × 2 = 1 + 0,393 623 04;
  • 15) 0,393 623 04 × 2 = 0 + 0,787 246 08;
  • 16) 0,787 246 08 × 2 = 1 + 0,574 492 16;
  • 17) 0,574 492 16 × 2 = 1 + 0,148 984 32;
  • 18) 0,148 984 32 × 2 = 0 + 0,297 968 64;
  • 19) 0,297 968 64 × 2 = 0 + 0,595 937 28;
  • 20) 0,595 937 28 × 2 = 1 + 0,191 874 56;
  • 21) 0,191 874 56 × 2 = 0 + 0,383 749 12;
  • 22) 0,383 749 12 × 2 = 0 + 0,767 498 24;
  • 23) 0,767 498 24 × 2 = 1 + 0,534 996 48;
  • 24) 0,534 996 48 × 2 = 1 + 0,069 992 96;
  • 25) 0,069 992 96 × 2 = 0 + 0,139 985 92;
  • 26) 0,139 985 92 × 2 = 0 + 0,279 971 84;
  • 27) 0,279 971 84 × 2 = 0 + 0,559 943 68;
  • 28) 0,559 943 68 × 2 = 1 + 0,119 887 36;
  • 29) 0,119 887 36 × 2 = 0 + 0,239 774 72;
  • 30) 0,239 774 72 × 2 = 0 + 0,479 549 44;
  • 31) 0,479 549 44 × 2 = 0 + 0,959 098 88;
  • 32) 0,959 098 88 × 2 = 1 + 0,918 197 76;
  • 33) 0,918 197 76 × 2 = 1 + 0,836 395 52;
  • 34) 0,836 395 52 × 2 = 1 + 0,672 791 04;
  • 35) 0,672 791 04 × 2 = 1 + 0,345 582 08;
  • 36) 0,345 582 08 × 2 = 0 + 0,691 164 16;
  • 37) 0,691 164 16 × 2 = 1 + 0,382 328 32;
  • 38) 0,382 328 32 × 2 = 0 + 0,764 656 64;
  • 39) 0,764 656 64 × 2 = 1 + 0,529 313 28;
  • 40) 0,529 313 28 × 2 = 1 + 0,058 626 56;
  • 41) 0,058 626 56 × 2 = 0 + 0,117 253 12;
  • 42) 0,117 253 12 × 2 = 0 + 0,234 506 24;
  • 43) 0,234 506 24 × 2 = 0 + 0,469 012 48;
  • 44) 0,469 012 48 × 2 = 0 + 0,938 024 96;
  • 45) 0,938 024 96 × 2 = 1 + 0,876 049 92;
  • 46) 0,876 049 92 × 2 = 1 + 0,752 099 84;
  • 47) 0,752 099 84 × 2 = 1 + 0,504 199 68;
  • 48) 0,504 199 68 × 2 = 1 + 0,008 399 36;
  • 49) 0,008 399 36 × 2 = 0 + 0,016 798 72;
  • 50) 0,016 798 72 × 2 = 0 + 0,033 597 44;
  • 51) 0,033 597 44 × 2 = 0 + 0,067 194 88;
  • 52) 0,067 194 88 × 2 = 0 + 0,134 389 76;
  • 53) 0,134 389 76 × 2 = 0 + 0,268 779 52;
  • 54) 0,268 779 52 × 2 = 0 + 0,537 559 04;
  • 55) 0,537 559 04 × 2 = 1 + 0,075 118 08;
  • 56) 0,075 118 08 × 2 = 0 + 0,150 236 16;
  • 57) 0,150 236 16 × 2 = 0 + 0,300 472 32;
  • 58) 0,300 472 32 × 2 = 0 + 0,600 944 64;
  • 59) 0,600 944 64 × 2 = 1 + 0,201 889 28;
  • 60) 0,201 889 28 × 2 = 0 + 0,403 778 56;
  • 61) 0,403 778 56 × 2 = 0 + 0,807 557 12;
  • 62) 0,807 557 12 × 2 = 1 + 0,615 114 24;
  • 63) 0,615 114 24 × 2 = 1 + 0,230 228 48;
  • 64) 0,230 228 48 × 2 = 0 + 0,460 456 96;
  • 65) 0,460 456 96 × 2 = 0 + 0,920 913 92;
  • 66) 0,920 913 92 × 2 = 1 + 0,841 827 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 085 06(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 0011 0001 0001 1110 1011 0000 1111 0000 0010 0010 0110 01(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 085 06(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 0011 0001 0001 1110 1011 0000 1111 0000 0010 0010 0110 01(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 085 06(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 0011 0001 0001 1110 1011 0000 1111 0000 0010 0010 0110 01(2) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 0011 0001 0001 1110 1011 0000 1111 0000 0010 0010 0110 01(2) × 20 =

1,0110 0100 1100 0100 0111 1010 1100 0011 1100 0000 1000 1001 1001(2) × 2-14


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0100 1100 0100 0111 1010 1100 0011 1100 0000 1000 1001 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0100 1100 0100 0111 1010 1100 0011 1100 0000 1000 1001 1001 =

0110 0100 1100 0100 0111 1010 1100 0011 1100 0000 1000 1001 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
0110 0100 1100 0100 0111 1010 1100 0011 1100 0000 1000 1001 1001


Numărul zecimal 0,000 085 06 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0001 - 0110 0100 1100 0100 0111 1010 1100 0011 1100 0000 1000 1001 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 084 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100