0,000 085 532 100 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 085 532 100 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 085 532 100 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 085 532 100 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 085 532 100 2 × 2 = 0 + 0,000 171 064 200 4;
  • 2) 0,000 171 064 200 4 × 2 = 0 + 0,000 342 128 400 8;
  • 3) 0,000 342 128 400 8 × 2 = 0 + 0,000 684 256 801 6;
  • 4) 0,000 684 256 801 6 × 2 = 0 + 0,001 368 513 603 2;
  • 5) 0,001 368 513 603 2 × 2 = 0 + 0,002 737 027 206 4;
  • 6) 0,002 737 027 206 4 × 2 = 0 + 0,005 474 054 412 8;
  • 7) 0,005 474 054 412 8 × 2 = 0 + 0,010 948 108 825 6;
  • 8) 0,010 948 108 825 6 × 2 = 0 + 0,021 896 217 651 2;
  • 9) 0,021 896 217 651 2 × 2 = 0 + 0,043 792 435 302 4;
  • 10) 0,043 792 435 302 4 × 2 = 0 + 0,087 584 870 604 8;
  • 11) 0,087 584 870 604 8 × 2 = 0 + 0,175 169 741 209 6;
  • 12) 0,175 169 741 209 6 × 2 = 0 + 0,350 339 482 419 2;
  • 13) 0,350 339 482 419 2 × 2 = 0 + 0,700 678 964 838 4;
  • 14) 0,700 678 964 838 4 × 2 = 1 + 0,401 357 929 676 8;
  • 15) 0,401 357 929 676 8 × 2 = 0 + 0,802 715 859 353 6;
  • 16) 0,802 715 859 353 6 × 2 = 1 + 0,605 431 718 707 2;
  • 17) 0,605 431 718 707 2 × 2 = 1 + 0,210 863 437 414 4;
  • 18) 0,210 863 437 414 4 × 2 = 0 + 0,421 726 874 828 8;
  • 19) 0,421 726 874 828 8 × 2 = 0 + 0,843 453 749 657 6;
  • 20) 0,843 453 749 657 6 × 2 = 1 + 0,686 907 499 315 2;
  • 21) 0,686 907 499 315 2 × 2 = 1 + 0,373 814 998 630 4;
  • 22) 0,373 814 998 630 4 × 2 = 0 + 0,747 629 997 260 8;
  • 23) 0,747 629 997 260 8 × 2 = 1 + 0,495 259 994 521 6;
  • 24) 0,495 259 994 521 6 × 2 = 0 + 0,990 519 989 043 2;
  • 25) 0,990 519 989 043 2 × 2 = 1 + 0,981 039 978 086 4;
  • 26) 0,981 039 978 086 4 × 2 = 1 + 0,962 079 956 172 8;
  • 27) 0,962 079 956 172 8 × 2 = 1 + 0,924 159 912 345 6;
  • 28) 0,924 159 912 345 6 × 2 = 1 + 0,848 319 824 691 2;
  • 29) 0,848 319 824 691 2 × 2 = 1 + 0,696 639 649 382 4;
  • 30) 0,696 639 649 382 4 × 2 = 1 + 0,393 279 298 764 8;
  • 31) 0,393 279 298 764 8 × 2 = 0 + 0,786 558 597 529 6;
  • 32) 0,786 558 597 529 6 × 2 = 1 + 0,573 117 195 059 2;
  • 33) 0,573 117 195 059 2 × 2 = 1 + 0,146 234 390 118 4;
  • 34) 0,146 234 390 118 4 × 2 = 0 + 0,292 468 780 236 8;
  • 35) 0,292 468 780 236 8 × 2 = 0 + 0,584 937 560 473 6;
  • 36) 0,584 937 560 473 6 × 2 = 1 + 0,169 875 120 947 2;
  • 37) 0,169 875 120 947 2 × 2 = 0 + 0,339 750 241 894 4;
  • 38) 0,339 750 241 894 4 × 2 = 0 + 0,679 500 483 788 8;
  • 39) 0,679 500 483 788 8 × 2 = 1 + 0,359 000 967 577 6;
  • 40) 0,359 000 967 577 6 × 2 = 0 + 0,718 001 935 155 2;
  • 41) 0,718 001 935 155 2 × 2 = 1 + 0,436 003 870 310 4;
  • 42) 0,436 003 870 310 4 × 2 = 0 + 0,872 007 740 620 8;
  • 43) 0,872 007 740 620 8 × 2 = 1 + 0,744 015 481 241 6;
  • 44) 0,744 015 481 241 6 × 2 = 1 + 0,488 030 962 483 2;
  • 45) 0,488 030 962 483 2 × 2 = 0 + 0,976 061 924 966 4;
  • 46) 0,976 061 924 966 4 × 2 = 1 + 0,952 123 849 932 8;
  • 47) 0,952 123 849 932 8 × 2 = 1 + 0,904 247 699 865 6;
  • 48) 0,904 247 699 865 6 × 2 = 1 + 0,808 495 399 731 2;
  • 49) 0,808 495 399 731 2 × 2 = 1 + 0,616 990 799 462 4;
  • 50) 0,616 990 799 462 4 × 2 = 1 + 0,233 981 598 924 8;
  • 51) 0,233 981 598 924 8 × 2 = 0 + 0,467 963 197 849 6;
  • 52) 0,467 963 197 849 6 × 2 = 0 + 0,935 926 395 699 2;
  • 53) 0,935 926 395 699 2 × 2 = 1 + 0,871 852 791 398 4;
  • 54) 0,871 852 791 398 4 × 2 = 1 + 0,743 705 582 796 8;
  • 55) 0,743 705 582 796 8 × 2 = 1 + 0,487 411 165 593 6;
  • 56) 0,487 411 165 593 6 × 2 = 0 + 0,974 822 331 187 2;
  • 57) 0,974 822 331 187 2 × 2 = 1 + 0,949 644 662 374 4;
  • 58) 0,949 644 662 374 4 × 2 = 1 + 0,899 289 324 748 8;
  • 59) 0,899 289 324 748 8 × 2 = 1 + 0,798 578 649 497 6;
  • 60) 0,798 578 649 497 6 × 2 = 1 + 0,597 157 298 995 2;
  • 61) 0,597 157 298 995 2 × 2 = 1 + 0,194 314 597 990 4;
  • 62) 0,194 314 597 990 4 × 2 = 0 + 0,388 629 195 980 8;
  • 63) 0,388 629 195 980 8 × 2 = 0 + 0,777 258 391 961 6;
  • 64) 0,777 258 391 961 6 × 2 = 1 + 0,554 516 783 923 2;
  • 65) 0,554 516 783 923 2 × 2 = 1 + 0,109 033 567 846 4;
  • 66) 0,109 033 567 846 4 × 2 = 0 + 0,218 067 135 692 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 085 532 100 2(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0010 1011 0111 1100 1110 1111 1001 10(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 085 532 100 2(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0010 1011 0111 1100 1110 1111 1001 10(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 085 532 100 2(10) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0010 1011 0111 1100 1110 1111 1001 10(2) =

0,0000 0000 0000 0101 1001 1010 1111 1101 1001 0010 1011 0111 1100 1110 1111 1001 10(2) × 20 =

1,0110 0110 1011 1111 0110 0100 1010 1101 1111 0011 1011 1110 0110(2) × 2-14


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0110 1011 1111 0110 0100 1010 1101 1111 0011 1011 1110 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0110 1011 1111 0110 0100 1010 1101 1111 0011 1011 1110 0110 =

0110 0110 1011 1111 0110 0100 1010 1101 1111 0011 1011 1110 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
0110 0110 1011 1111 0110 0100 1010 1101 1111 0011 1011 1110 0110


Numărul zecimal 0,000 085 532 100 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0001 - 0110 0110 1011 1111 0110 0100 1010 1101 1111 0011 1011 1110 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 085 532 103 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100