0,000 164 778 124 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 164 778 124(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 164 778 124(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 164 778 124.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 164 778 124 × 2 = 0 + 0,000 329 556 248;
  • 2) 0,000 329 556 248 × 2 = 0 + 0,000 659 112 496;
  • 3) 0,000 659 112 496 × 2 = 0 + 0,001 318 224 992;
  • 4) 0,001 318 224 992 × 2 = 0 + 0,002 636 449 984;
  • 5) 0,002 636 449 984 × 2 = 0 + 0,005 272 899 968;
  • 6) 0,005 272 899 968 × 2 = 0 + 0,010 545 799 936;
  • 7) 0,010 545 799 936 × 2 = 0 + 0,021 091 599 872;
  • 8) 0,021 091 599 872 × 2 = 0 + 0,042 183 199 744;
  • 9) 0,042 183 199 744 × 2 = 0 + 0,084 366 399 488;
  • 10) 0,084 366 399 488 × 2 = 0 + 0,168 732 798 976;
  • 11) 0,168 732 798 976 × 2 = 0 + 0,337 465 597 952;
  • 12) 0,337 465 597 952 × 2 = 0 + 0,674 931 195 904;
  • 13) 0,674 931 195 904 × 2 = 1 + 0,349 862 391 808;
  • 14) 0,349 862 391 808 × 2 = 0 + 0,699 724 783 616;
  • 15) 0,699 724 783 616 × 2 = 1 + 0,399 449 567 232;
  • 16) 0,399 449 567 232 × 2 = 0 + 0,798 899 134 464;
  • 17) 0,798 899 134 464 × 2 = 1 + 0,597 798 268 928;
  • 18) 0,597 798 268 928 × 2 = 1 + 0,195 596 537 856;
  • 19) 0,195 596 537 856 × 2 = 0 + 0,391 193 075 712;
  • 20) 0,391 193 075 712 × 2 = 0 + 0,782 386 151 424;
  • 21) 0,782 386 151 424 × 2 = 1 + 0,564 772 302 848;
  • 22) 0,564 772 302 848 × 2 = 1 + 0,129 544 605 696;
  • 23) 0,129 544 605 696 × 2 = 0 + 0,259 089 211 392;
  • 24) 0,259 089 211 392 × 2 = 0 + 0,518 178 422 784;
  • 25) 0,518 178 422 784 × 2 = 1 + 0,036 356 845 568;
  • 26) 0,036 356 845 568 × 2 = 0 + 0,072 713 691 136;
  • 27) 0,072 713 691 136 × 2 = 0 + 0,145 427 382 272;
  • 28) 0,145 427 382 272 × 2 = 0 + 0,290 854 764 544;
  • 29) 0,290 854 764 544 × 2 = 0 + 0,581 709 529 088;
  • 30) 0,581 709 529 088 × 2 = 1 + 0,163 419 058 176;
  • 31) 0,163 419 058 176 × 2 = 0 + 0,326 838 116 352;
  • 32) 0,326 838 116 352 × 2 = 0 + 0,653 676 232 704;
  • 33) 0,653 676 232 704 × 2 = 1 + 0,307 352 465 408;
  • 34) 0,307 352 465 408 × 2 = 0 + 0,614 704 930 816;
  • 35) 0,614 704 930 816 × 2 = 1 + 0,229 409 861 632;
  • 36) 0,229 409 861 632 × 2 = 0 + 0,458 819 723 264;
  • 37) 0,458 819 723 264 × 2 = 0 + 0,917 639 446 528;
  • 38) 0,917 639 446 528 × 2 = 1 + 0,835 278 893 056;
  • 39) 0,835 278 893 056 × 2 = 1 + 0,670 557 786 112;
  • 40) 0,670 557 786 112 × 2 = 1 + 0,341 115 572 224;
  • 41) 0,341 115 572 224 × 2 = 0 + 0,682 231 144 448;
  • 42) 0,682 231 144 448 × 2 = 1 + 0,364 462 288 896;
  • 43) 0,364 462 288 896 × 2 = 0 + 0,728 924 577 792;
  • 44) 0,728 924 577 792 × 2 = 1 + 0,457 849 155 584;
  • 45) 0,457 849 155 584 × 2 = 0 + 0,915 698 311 168;
  • 46) 0,915 698 311 168 × 2 = 1 + 0,831 396 622 336;
  • 47) 0,831 396 622 336 × 2 = 1 + 0,662 793 244 672;
  • 48) 0,662 793 244 672 × 2 = 1 + 0,325 586 489 344;
  • 49) 0,325 586 489 344 × 2 = 0 + 0,651 172 978 688;
  • 50) 0,651 172 978 688 × 2 = 1 + 0,302 345 957 376;
  • 51) 0,302 345 957 376 × 2 = 0 + 0,604 691 914 752;
  • 52) 0,604 691 914 752 × 2 = 1 + 0,209 383 829 504;
  • 53) 0,209 383 829 504 × 2 = 0 + 0,418 767 659 008;
  • 54) 0,418 767 659 008 × 2 = 0 + 0,837 535 318 016;
  • 55) 0,837 535 318 016 × 2 = 1 + 0,675 070 636 032;
  • 56) 0,675 070 636 032 × 2 = 1 + 0,350 141 272 064;
  • 57) 0,350 141 272 064 × 2 = 0 + 0,700 282 544 128;
  • 58) 0,700 282 544 128 × 2 = 1 + 0,400 565 088 256;
  • 59) 0,400 565 088 256 × 2 = 0 + 0,801 130 176 512;
  • 60) 0,801 130 176 512 × 2 = 1 + 0,602 260 353 024;
  • 61) 0,602 260 353 024 × 2 = 1 + 0,204 520 706 048;
  • 62) 0,204 520 706 048 × 2 = 0 + 0,409 041 412 096;
  • 63) 0,409 041 412 096 × 2 = 0 + 0,818 082 824 192;
  • 64) 0,818 082 824 192 × 2 = 1 + 0,636 165 648 384;
  • 65) 0,636 165 648 384 × 2 = 1 + 0,272 331 296 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 164 778 124(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0100 1010 0111 0101 0111 0101 0011 0101 1001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 164 778 124(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0100 1010 0111 0101 0111 0101 0011 0101 1001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 164 778 124(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0100 1010 0111 0101 0111 0101 0011 0101 1001 1(2) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0100 1010 0111 0101 0111 0101 0011 0101 1001 1(2) × 20 =

1,0101 1001 1001 0000 1001 0100 1110 1010 1110 1010 0110 1011 0011(2) × 2-13


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -13

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1001 1001 0000 1001 0100 1110 1010 1110 1010 0110 1011 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-13 + 2(11-1) - 1 =

(-13 + 1 023)(10) =

1 010(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 010 : 2 = 505 + 0;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1010(10) =

011 1111 0010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1001 1001 0000 1001 0100 1110 1010 1110 1010 0110 1011 0011 =

0101 1001 1001 0000 1001 0100 1110 1010 1110 1010 0110 1011 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0010

Mantisă (52 biți) =
0101 1001 1001 0000 1001 0100 1110 1010 1110 1010 0110 1011 0011


Numărul zecimal 0,000 164 778 124 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0010 - 0101 1001 1001 0000 1001 0100 1110 1010 1110 1010 0110 1011 0011

» Scriere 0,000 164 778 096 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100