0,000 569 761 701 604 413 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 569 761 701 604 413(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 569 761 701 604 413(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 569 761 701 604 413.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 569 761 701 604 413 × 2 = 0 + 0,001 139 523 403 208 826;
  • 2) 0,001 139 523 403 208 826 × 2 = 0 + 0,002 279 046 806 417 652;
  • 3) 0,002 279 046 806 417 652 × 2 = 0 + 0,004 558 093 612 835 304;
  • 4) 0,004 558 093 612 835 304 × 2 = 0 + 0,009 116 187 225 670 608;
  • 5) 0,009 116 187 225 670 608 × 2 = 0 + 0,018 232 374 451 341 216;
  • 6) 0,018 232 374 451 341 216 × 2 = 0 + 0,036 464 748 902 682 432;
  • 7) 0,036 464 748 902 682 432 × 2 = 0 + 0,072 929 497 805 364 864;
  • 8) 0,072 929 497 805 364 864 × 2 = 0 + 0,145 858 995 610 729 728;
  • 9) 0,145 858 995 610 729 728 × 2 = 0 + 0,291 717 991 221 459 456;
  • 10) 0,291 717 991 221 459 456 × 2 = 0 + 0,583 435 982 442 918 912;
  • 11) 0,583 435 982 442 918 912 × 2 = 1 + 0,166 871 964 885 837 824;
  • 12) 0,166 871 964 885 837 824 × 2 = 0 + 0,333 743 929 771 675 648;
  • 13) 0,333 743 929 771 675 648 × 2 = 0 + 0,667 487 859 543 351 296;
  • 14) 0,667 487 859 543 351 296 × 2 = 1 + 0,334 975 719 086 702 592;
  • 15) 0,334 975 719 086 702 592 × 2 = 0 + 0,669 951 438 173 405 184;
  • 16) 0,669 951 438 173 405 184 × 2 = 1 + 0,339 902 876 346 810 368;
  • 17) 0,339 902 876 346 810 368 × 2 = 0 + 0,679 805 752 693 620 736;
  • 18) 0,679 805 752 693 620 736 × 2 = 1 + 0,359 611 505 387 241 472;
  • 19) 0,359 611 505 387 241 472 × 2 = 0 + 0,719 223 010 774 482 944;
  • 20) 0,719 223 010 774 482 944 × 2 = 1 + 0,438 446 021 548 965 888;
  • 21) 0,438 446 021 548 965 888 × 2 = 0 + 0,876 892 043 097 931 776;
  • 22) 0,876 892 043 097 931 776 × 2 = 1 + 0,753 784 086 195 863 552;
  • 23) 0,753 784 086 195 863 552 × 2 = 1 + 0,507 568 172 391 727 104;
  • 24) 0,507 568 172 391 727 104 × 2 = 1 + 0,015 136 344 783 454 208;
  • 25) 0,015 136 344 783 454 208 × 2 = 0 + 0,030 272 689 566 908 416;
  • 26) 0,030 272 689 566 908 416 × 2 = 0 + 0,060 545 379 133 816 832;
  • 27) 0,060 545 379 133 816 832 × 2 = 0 + 0,121 090 758 267 633 664;
  • 28) 0,121 090 758 267 633 664 × 2 = 0 + 0,242 181 516 535 267 328;
  • 29) 0,242 181 516 535 267 328 × 2 = 0 + 0,484 363 033 070 534 656;
  • 30) 0,484 363 033 070 534 656 × 2 = 0 + 0,968 726 066 141 069 312;
  • 31) 0,968 726 066 141 069 312 × 2 = 1 + 0,937 452 132 282 138 624;
  • 32) 0,937 452 132 282 138 624 × 2 = 1 + 0,874 904 264 564 277 248;
  • 33) 0,874 904 264 564 277 248 × 2 = 1 + 0,749 808 529 128 554 496;
  • 34) 0,749 808 529 128 554 496 × 2 = 1 + 0,499 617 058 257 108 992;
  • 35) 0,499 617 058 257 108 992 × 2 = 0 + 0,999 234 116 514 217 984;
  • 36) 0,999 234 116 514 217 984 × 2 = 1 + 0,998 468 233 028 435 968;
  • 37) 0,998 468 233 028 435 968 × 2 = 1 + 0,996 936 466 056 871 936;
  • 38) 0,996 936 466 056 871 936 × 2 = 1 + 0,993 872 932 113 743 872;
  • 39) 0,993 872 932 113 743 872 × 2 = 1 + 0,987 745 864 227 487 744;
  • 40) 0,987 745 864 227 487 744 × 2 = 1 + 0,975 491 728 454 975 488;
  • 41) 0,975 491 728 454 975 488 × 2 = 1 + 0,950 983 456 909 950 976;
  • 42) 0,950 983 456 909 950 976 × 2 = 1 + 0,901 966 913 819 901 952;
  • 43) 0,901 966 913 819 901 952 × 2 = 1 + 0,803 933 827 639 803 904;
  • 44) 0,803 933 827 639 803 904 × 2 = 1 + 0,607 867 655 279 607 808;
  • 45) 0,607 867 655 279 607 808 × 2 = 1 + 0,215 735 310 559 215 616;
  • 46) 0,215 735 310 559 215 616 × 2 = 0 + 0,431 470 621 118 431 232;
  • 47) 0,431 470 621 118 431 232 × 2 = 0 + 0,862 941 242 236 862 464;
  • 48) 0,862 941 242 236 862 464 × 2 = 1 + 0,725 882 484 473 724 928;
  • 49) 0,725 882 484 473 724 928 × 2 = 1 + 0,451 764 968 947 449 856;
  • 50) 0,451 764 968 947 449 856 × 2 = 0 + 0,903 529 937 894 899 712;
  • 51) 0,903 529 937 894 899 712 × 2 = 1 + 0,807 059 875 789 799 424;
  • 52) 0,807 059 875 789 799 424 × 2 = 1 + 0,614 119 751 579 598 848;
  • 53) 0,614 119 751 579 598 848 × 2 = 1 + 0,228 239 503 159 197 696;
  • 54) 0,228 239 503 159 197 696 × 2 = 0 + 0,456 479 006 318 395 392;
  • 55) 0,456 479 006 318 395 392 × 2 = 0 + 0,912 958 012 636 790 784;
  • 56) 0,912 958 012 636 790 784 × 2 = 1 + 0,825 916 025 273 581 568;
  • 57) 0,825 916 025 273 581 568 × 2 = 1 + 0,651 832 050 547 163 136;
  • 58) 0,651 832 050 547 163 136 × 2 = 1 + 0,303 664 101 094 326 272;
  • 59) 0,303 664 101 094 326 272 × 2 = 0 + 0,607 328 202 188 652 544;
  • 60) 0,607 328 202 188 652 544 × 2 = 1 + 0,214 656 404 377 305 088;
  • 61) 0,214 656 404 377 305 088 × 2 = 0 + 0,429 312 808 754 610 176;
  • 62) 0,429 312 808 754 610 176 × 2 = 0 + 0,858 625 617 509 220 352;
  • 63) 0,858 625 617 509 220 352 × 2 = 1 + 0,717 251 235 018 440 704;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 569 761 701 604 413(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1001 1101 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 569 761 701 604 413(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1001 1101 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 569 761 701 604 413(10) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1001 1101 001(2) =

0,0000 0000 0010 0101 0101 0111 0000 0011 1101 1111 1111 1001 1011 1001 1101 001(2) × 20 =

1,0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 1110 1001(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 1110 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 1110 1001 =

0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 1110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 1110 1001


Numărul zecimal 0,000 569 761 701 604 413 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0010 1010 1011 1000 0001 1110 1111 1111 1100 1101 1100 1110 1001

Distribuie

» Scriere 0,000 569 761 701 604 349 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100