0,000 684 924 130 742 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 684 924 130 742 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 684 924 130 742 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 684 924 130 742 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 684 924 130 742 6 × 2 = 0 + 0,001 369 848 261 485 2;
  • 2) 0,001 369 848 261 485 2 × 2 = 0 + 0,002 739 696 522 970 4;
  • 3) 0,002 739 696 522 970 4 × 2 = 0 + 0,005 479 393 045 940 8;
  • 4) 0,005 479 393 045 940 8 × 2 = 0 + 0,010 958 786 091 881 6;
  • 5) 0,010 958 786 091 881 6 × 2 = 0 + 0,021 917 572 183 763 2;
  • 6) 0,021 917 572 183 763 2 × 2 = 0 + 0,043 835 144 367 526 4;
  • 7) 0,043 835 144 367 526 4 × 2 = 0 + 0,087 670 288 735 052 8;
  • 8) 0,087 670 288 735 052 8 × 2 = 0 + 0,175 340 577 470 105 6;
  • 9) 0,175 340 577 470 105 6 × 2 = 0 + 0,350 681 154 940 211 2;
  • 10) 0,350 681 154 940 211 2 × 2 = 0 + 0,701 362 309 880 422 4;
  • 11) 0,701 362 309 880 422 4 × 2 = 1 + 0,402 724 619 760 844 8;
  • 12) 0,402 724 619 760 844 8 × 2 = 0 + 0,805 449 239 521 689 6;
  • 13) 0,805 449 239 521 689 6 × 2 = 1 + 0,610 898 479 043 379 2;
  • 14) 0,610 898 479 043 379 2 × 2 = 1 + 0,221 796 958 086 758 4;
  • 15) 0,221 796 958 086 758 4 × 2 = 0 + 0,443 593 916 173 516 8;
  • 16) 0,443 593 916 173 516 8 × 2 = 0 + 0,887 187 832 347 033 6;
  • 17) 0,887 187 832 347 033 6 × 2 = 1 + 0,774 375 664 694 067 2;
  • 18) 0,774 375 664 694 067 2 × 2 = 1 + 0,548 751 329 388 134 4;
  • 19) 0,548 751 329 388 134 4 × 2 = 1 + 0,097 502 658 776 268 8;
  • 20) 0,097 502 658 776 268 8 × 2 = 0 + 0,195 005 317 552 537 6;
  • 21) 0,195 005 317 552 537 6 × 2 = 0 + 0,390 010 635 105 075 2;
  • 22) 0,390 010 635 105 075 2 × 2 = 0 + 0,780 021 270 210 150 4;
  • 23) 0,780 021 270 210 150 4 × 2 = 1 + 0,560 042 540 420 300 8;
  • 24) 0,560 042 540 420 300 8 × 2 = 1 + 0,120 085 080 840 601 6;
  • 25) 0,120 085 080 840 601 6 × 2 = 0 + 0,240 170 161 681 203 2;
  • 26) 0,240 170 161 681 203 2 × 2 = 0 + 0,480 340 323 362 406 4;
  • 27) 0,480 340 323 362 406 4 × 2 = 0 + 0,960 680 646 724 812 8;
  • 28) 0,960 680 646 724 812 8 × 2 = 1 + 0,921 361 293 449 625 6;
  • 29) 0,921 361 293 449 625 6 × 2 = 1 + 0,842 722 586 899 251 2;
  • 30) 0,842 722 586 899 251 2 × 2 = 1 + 0,685 445 173 798 502 4;
  • 31) 0,685 445 173 798 502 4 × 2 = 1 + 0,370 890 347 597 004 8;
  • 32) 0,370 890 347 597 004 8 × 2 = 0 + 0,741 780 695 194 009 6;
  • 33) 0,741 780 695 194 009 6 × 2 = 1 + 0,483 561 390 388 019 2;
  • 34) 0,483 561 390 388 019 2 × 2 = 0 + 0,967 122 780 776 038 4;
  • 35) 0,967 122 780 776 038 4 × 2 = 1 + 0,934 245 561 552 076 8;
  • 36) 0,934 245 561 552 076 8 × 2 = 1 + 0,868 491 123 104 153 6;
  • 37) 0,868 491 123 104 153 6 × 2 = 1 + 0,736 982 246 208 307 2;
  • 38) 0,736 982 246 208 307 2 × 2 = 1 + 0,473 964 492 416 614 4;
  • 39) 0,473 964 492 416 614 4 × 2 = 0 + 0,947 928 984 833 228 8;
  • 40) 0,947 928 984 833 228 8 × 2 = 1 + 0,895 857 969 666 457 6;
  • 41) 0,895 857 969 666 457 6 × 2 = 1 + 0,791 715 939 332 915 2;
  • 42) 0,791 715 939 332 915 2 × 2 = 1 + 0,583 431 878 665 830 4;
  • 43) 0,583 431 878 665 830 4 × 2 = 1 + 0,166 863 757 331 660 8;
  • 44) 0,166 863 757 331 660 8 × 2 = 0 + 0,333 727 514 663 321 6;
  • 45) 0,333 727 514 663 321 6 × 2 = 0 + 0,667 455 029 326 643 2;
  • 46) 0,667 455 029 326 643 2 × 2 = 1 + 0,334 910 058 653 286 4;
  • 47) 0,334 910 058 653 286 4 × 2 = 0 + 0,669 820 117 306 572 8;
  • 48) 0,669 820 117 306 572 8 × 2 = 1 + 0,339 640 234 613 145 6;
  • 49) 0,339 640 234 613 145 6 × 2 = 0 + 0,679 280 469 226 291 2;
  • 50) 0,679 280 469 226 291 2 × 2 = 1 + 0,358 560 938 452 582 4;
  • 51) 0,358 560 938 452 582 4 × 2 = 0 + 0,717 121 876 905 164 8;
  • 52) 0,717 121 876 905 164 8 × 2 = 1 + 0,434 243 753 810 329 6;
  • 53) 0,434 243 753 810 329 6 × 2 = 0 + 0,868 487 507 620 659 2;
  • 54) 0,868 487 507 620 659 2 × 2 = 1 + 0,736 975 015 241 318 4;
  • 55) 0,736 975 015 241 318 4 × 2 = 1 + 0,473 950 030 482 636 8;
  • 56) 0,473 950 030 482 636 8 × 2 = 0 + 0,947 900 060 965 273 6;
  • 57) 0,947 900 060 965 273 6 × 2 = 1 + 0,895 800 121 930 547 2;
  • 58) 0,895 800 121 930 547 2 × 2 = 1 + 0,791 600 243 861 094 4;
  • 59) 0,791 600 243 861 094 4 × 2 = 1 + 0,583 200 487 722 188 8;
  • 60) 0,583 200 487 722 188 8 × 2 = 1 + 0,166 400 975 444 377 6;
  • 61) 0,166 400 975 444 377 6 × 2 = 0 + 0,332 801 950 888 755 2;
  • 62) 0,332 801 950 888 755 2 × 2 = 0 + 0,665 603 901 777 510 4;
  • 63) 0,665 603 901 777 510 4 × 2 = 1 + 0,331 207 803 555 020 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 684 924 130 742 6(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0101 0101 0110 1111 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 684 924 130 742 6(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0101 0101 0110 1111 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 684 924 130 742 6(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0101 0101 0110 1111 001(2) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0101 0101 0110 1111 001(2) × 20 =

1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0010 1010 1011 0111 1001(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0010 1010 1011 0111 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0010 1010 1011 0111 1001 =

0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0010 1010 1011 0111 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0010 1010 1011 0111 1001


Numărul zecimal 0,000 684 924 130 742 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0010 1010 1011 0111 1001

» Scriere 0,000 684 924 130 749 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100