0,000 684 924 130 754 05 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 684 924 130 754 05(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 684 924 130 754 05(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 684 924 130 754 05.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 684 924 130 754 05 × 2 = 0 + 0,001 369 848 261 508 1;
  • 2) 0,001 369 848 261 508 1 × 2 = 0 + 0,002 739 696 523 016 2;
  • 3) 0,002 739 696 523 016 2 × 2 = 0 + 0,005 479 393 046 032 4;
  • 4) 0,005 479 393 046 032 4 × 2 = 0 + 0,010 958 786 092 064 8;
  • 5) 0,010 958 786 092 064 8 × 2 = 0 + 0,021 917 572 184 129 6;
  • 6) 0,021 917 572 184 129 6 × 2 = 0 + 0,043 835 144 368 259 2;
  • 7) 0,043 835 144 368 259 2 × 2 = 0 + 0,087 670 288 736 518 4;
  • 8) 0,087 670 288 736 518 4 × 2 = 0 + 0,175 340 577 473 036 8;
  • 9) 0,175 340 577 473 036 8 × 2 = 0 + 0,350 681 154 946 073 6;
  • 10) 0,350 681 154 946 073 6 × 2 = 0 + 0,701 362 309 892 147 2;
  • 11) 0,701 362 309 892 147 2 × 2 = 1 + 0,402 724 619 784 294 4;
  • 12) 0,402 724 619 784 294 4 × 2 = 0 + 0,805 449 239 568 588 8;
  • 13) 0,805 449 239 568 588 8 × 2 = 1 + 0,610 898 479 137 177 6;
  • 14) 0,610 898 479 137 177 6 × 2 = 1 + 0,221 796 958 274 355 2;
  • 15) 0,221 796 958 274 355 2 × 2 = 0 + 0,443 593 916 548 710 4;
  • 16) 0,443 593 916 548 710 4 × 2 = 0 + 0,887 187 833 097 420 8;
  • 17) 0,887 187 833 097 420 8 × 2 = 1 + 0,774 375 666 194 841 6;
  • 18) 0,774 375 666 194 841 6 × 2 = 1 + 0,548 751 332 389 683 2;
  • 19) 0,548 751 332 389 683 2 × 2 = 1 + 0,097 502 664 779 366 4;
  • 20) 0,097 502 664 779 366 4 × 2 = 0 + 0,195 005 329 558 732 8;
  • 21) 0,195 005 329 558 732 8 × 2 = 0 + 0,390 010 659 117 465 6;
  • 22) 0,390 010 659 117 465 6 × 2 = 0 + 0,780 021 318 234 931 2;
  • 23) 0,780 021 318 234 931 2 × 2 = 1 + 0,560 042 636 469 862 4;
  • 24) 0,560 042 636 469 862 4 × 2 = 1 + 0,120 085 272 939 724 8;
  • 25) 0,120 085 272 939 724 8 × 2 = 0 + 0,240 170 545 879 449 6;
  • 26) 0,240 170 545 879 449 6 × 2 = 0 + 0,480 341 091 758 899 2;
  • 27) 0,480 341 091 758 899 2 × 2 = 0 + 0,960 682 183 517 798 4;
  • 28) 0,960 682 183 517 798 4 × 2 = 1 + 0,921 364 367 035 596 8;
  • 29) 0,921 364 367 035 596 8 × 2 = 1 + 0,842 728 734 071 193 6;
  • 30) 0,842 728 734 071 193 6 × 2 = 1 + 0,685 457 468 142 387 2;
  • 31) 0,685 457 468 142 387 2 × 2 = 1 + 0,370 914 936 284 774 4;
  • 32) 0,370 914 936 284 774 4 × 2 = 0 + 0,741 829 872 569 548 8;
  • 33) 0,741 829 872 569 548 8 × 2 = 1 + 0,483 659 745 139 097 6;
  • 34) 0,483 659 745 139 097 6 × 2 = 0 + 0,967 319 490 278 195 2;
  • 35) 0,967 319 490 278 195 2 × 2 = 1 + 0,934 638 980 556 390 4;
  • 36) 0,934 638 980 556 390 4 × 2 = 1 + 0,869 277 961 112 780 8;
  • 37) 0,869 277 961 112 780 8 × 2 = 1 + 0,738 555 922 225 561 6;
  • 38) 0,738 555 922 225 561 6 × 2 = 1 + 0,477 111 844 451 123 2;
  • 39) 0,477 111 844 451 123 2 × 2 = 0 + 0,954 223 688 902 246 4;
  • 40) 0,954 223 688 902 246 4 × 2 = 1 + 0,908 447 377 804 492 8;
  • 41) 0,908 447 377 804 492 8 × 2 = 1 + 0,816 894 755 608 985 6;
  • 42) 0,816 894 755 608 985 6 × 2 = 1 + 0,633 789 511 217 971 2;
  • 43) 0,633 789 511 217 971 2 × 2 = 1 + 0,267 579 022 435 942 4;
  • 44) 0,267 579 022 435 942 4 × 2 = 0 + 0,535 158 044 871 884 8;
  • 45) 0,535 158 044 871 884 8 × 2 = 1 + 0,070 316 089 743 769 6;
  • 46) 0,070 316 089 743 769 6 × 2 = 0 + 0,140 632 179 487 539 2;
  • 47) 0,140 632 179 487 539 2 × 2 = 0 + 0,281 264 358 975 078 4;
  • 48) 0,281 264 358 975 078 4 × 2 = 0 + 0,562 528 717 950 156 8;
  • 49) 0,562 528 717 950 156 8 × 2 = 1 + 0,125 057 435 900 313 6;
  • 50) 0,125 057 435 900 313 6 × 2 = 0 + 0,250 114 871 800 627 2;
  • 51) 0,250 114 871 800 627 2 × 2 = 0 + 0,500 229 743 601 254 4;
  • 52) 0,500 229 743 601 254 4 × 2 = 1 + 0,000 459 487 202 508 8;
  • 53) 0,000 459 487 202 508 8 × 2 = 0 + 0,000 918 974 405 017 6;
  • 54) 0,000 918 974 405 017 6 × 2 = 0 + 0,001 837 948 810 035 2;
  • 55) 0,001 837 948 810 035 2 × 2 = 0 + 0,003 675 897 620 070 4;
  • 56) 0,003 675 897 620 070 4 × 2 = 0 + 0,007 351 795 240 140 8;
  • 57) 0,007 351 795 240 140 8 × 2 = 0 + 0,014 703 590 480 281 6;
  • 58) 0,014 703 590 480 281 6 × 2 = 0 + 0,029 407 180 960 563 2;
  • 59) 0,029 407 180 960 563 2 × 2 = 0 + 0,058 814 361 921 126 4;
  • 60) 0,058 814 361 921 126 4 × 2 = 0 + 0,117 628 723 842 252 8;
  • 61) 0,117 628 723 842 252 8 × 2 = 0 + 0,235 257 447 684 505 6;
  • 62) 0,235 257 447 684 505 6 × 2 = 0 + 0,470 514 895 369 011 2;
  • 63) 0,470 514 895 369 011 2 × 2 = 0 + 0,941 029 790 738 022 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 684 924 130 754 05(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0000 000(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 684 924 130 754 05(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0000 000(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 684 924 130 754 05(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0000 000(2) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0000 000(2) × 20 =

1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0000 0000(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0000 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0000 0000 =

0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0000 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0000 0000


Numărul zecimal 0,000 684 924 130 754 05 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0000 0000

» Scriere 0,000 684 924 130 753 23 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100