0,000 684 924 130 754 052 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 684 924 130 754 052 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 684 924 130 754 052 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 684 924 130 754 052 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 684 924 130 754 052 1 × 2 = 0 + 0,001 369 848 261 508 104 2;
  • 2) 0,001 369 848 261 508 104 2 × 2 = 0 + 0,002 739 696 523 016 208 4;
  • 3) 0,002 739 696 523 016 208 4 × 2 = 0 + 0,005 479 393 046 032 416 8;
  • 4) 0,005 479 393 046 032 416 8 × 2 = 0 + 0,010 958 786 092 064 833 6;
  • 5) 0,010 958 786 092 064 833 6 × 2 = 0 + 0,021 917 572 184 129 667 2;
  • 6) 0,021 917 572 184 129 667 2 × 2 = 0 + 0,043 835 144 368 259 334 4;
  • 7) 0,043 835 144 368 259 334 4 × 2 = 0 + 0,087 670 288 736 518 668 8;
  • 8) 0,087 670 288 736 518 668 8 × 2 = 0 + 0,175 340 577 473 037 337 6;
  • 9) 0,175 340 577 473 037 337 6 × 2 = 0 + 0,350 681 154 946 074 675 2;
  • 10) 0,350 681 154 946 074 675 2 × 2 = 0 + 0,701 362 309 892 149 350 4;
  • 11) 0,701 362 309 892 149 350 4 × 2 = 1 + 0,402 724 619 784 298 700 8;
  • 12) 0,402 724 619 784 298 700 8 × 2 = 0 + 0,805 449 239 568 597 401 6;
  • 13) 0,805 449 239 568 597 401 6 × 2 = 1 + 0,610 898 479 137 194 803 2;
  • 14) 0,610 898 479 137 194 803 2 × 2 = 1 + 0,221 796 958 274 389 606 4;
  • 15) 0,221 796 958 274 389 606 4 × 2 = 0 + 0,443 593 916 548 779 212 8;
  • 16) 0,443 593 916 548 779 212 8 × 2 = 0 + 0,887 187 833 097 558 425 6;
  • 17) 0,887 187 833 097 558 425 6 × 2 = 1 + 0,774 375 666 195 116 851 2;
  • 18) 0,774 375 666 195 116 851 2 × 2 = 1 + 0,548 751 332 390 233 702 4;
  • 19) 0,548 751 332 390 233 702 4 × 2 = 1 + 0,097 502 664 780 467 404 8;
  • 20) 0,097 502 664 780 467 404 8 × 2 = 0 + 0,195 005 329 560 934 809 6;
  • 21) 0,195 005 329 560 934 809 6 × 2 = 0 + 0,390 010 659 121 869 619 2;
  • 22) 0,390 010 659 121 869 619 2 × 2 = 0 + 0,780 021 318 243 739 238 4;
  • 23) 0,780 021 318 243 739 238 4 × 2 = 1 + 0,560 042 636 487 478 476 8;
  • 24) 0,560 042 636 487 478 476 8 × 2 = 1 + 0,120 085 272 974 956 953 6;
  • 25) 0,120 085 272 974 956 953 6 × 2 = 0 + 0,240 170 545 949 913 907 2;
  • 26) 0,240 170 545 949 913 907 2 × 2 = 0 + 0,480 341 091 899 827 814 4;
  • 27) 0,480 341 091 899 827 814 4 × 2 = 0 + 0,960 682 183 799 655 628 8;
  • 28) 0,960 682 183 799 655 628 8 × 2 = 1 + 0,921 364 367 599 311 257 6;
  • 29) 0,921 364 367 599 311 257 6 × 2 = 1 + 0,842 728 735 198 622 515 2;
  • 30) 0,842 728 735 198 622 515 2 × 2 = 1 + 0,685 457 470 397 245 030 4;
  • 31) 0,685 457 470 397 245 030 4 × 2 = 1 + 0,370 914 940 794 490 060 8;
  • 32) 0,370 914 940 794 490 060 8 × 2 = 0 + 0,741 829 881 588 980 121 6;
  • 33) 0,741 829 881 588 980 121 6 × 2 = 1 + 0,483 659 763 177 960 243 2;
  • 34) 0,483 659 763 177 960 243 2 × 2 = 0 + 0,967 319 526 355 920 486 4;
  • 35) 0,967 319 526 355 920 486 4 × 2 = 1 + 0,934 639 052 711 840 972 8;
  • 36) 0,934 639 052 711 840 972 8 × 2 = 1 + 0,869 278 105 423 681 945 6;
  • 37) 0,869 278 105 423 681 945 6 × 2 = 1 + 0,738 556 210 847 363 891 2;
  • 38) 0,738 556 210 847 363 891 2 × 2 = 1 + 0,477 112 421 694 727 782 4;
  • 39) 0,477 112 421 694 727 782 4 × 2 = 0 + 0,954 224 843 389 455 564 8;
  • 40) 0,954 224 843 389 455 564 8 × 2 = 1 + 0,908 449 686 778 911 129 6;
  • 41) 0,908 449 686 778 911 129 6 × 2 = 1 + 0,816 899 373 557 822 259 2;
  • 42) 0,816 899 373 557 822 259 2 × 2 = 1 + 0,633 798 747 115 644 518 4;
  • 43) 0,633 798 747 115 644 518 4 × 2 = 1 + 0,267 597 494 231 289 036 8;
  • 44) 0,267 597 494 231 289 036 8 × 2 = 0 + 0,535 194 988 462 578 073 6;
  • 45) 0,535 194 988 462 578 073 6 × 2 = 1 + 0,070 389 976 925 156 147 2;
  • 46) 0,070 389 976 925 156 147 2 × 2 = 0 + 0,140 779 953 850 312 294 4;
  • 47) 0,140 779 953 850 312 294 4 × 2 = 0 + 0,281 559 907 700 624 588 8;
  • 48) 0,281 559 907 700 624 588 8 × 2 = 0 + 0,563 119 815 401 249 177 6;
  • 49) 0,563 119 815 401 249 177 6 × 2 = 1 + 0,126 239 630 802 498 355 2;
  • 50) 0,126 239 630 802 498 355 2 × 2 = 0 + 0,252 479 261 604 996 710 4;
  • 51) 0,252 479 261 604 996 710 4 × 2 = 0 + 0,504 958 523 209 993 420 8;
  • 52) 0,504 958 523 209 993 420 8 × 2 = 1 + 0,009 917 046 419 986 841 6;
  • 53) 0,009 917 046 419 986 841 6 × 2 = 0 + 0,019 834 092 839 973 683 2;
  • 54) 0,019 834 092 839 973 683 2 × 2 = 0 + 0,039 668 185 679 947 366 4;
  • 55) 0,039 668 185 679 947 366 4 × 2 = 0 + 0,079 336 371 359 894 732 8;
  • 56) 0,079 336 371 359 894 732 8 × 2 = 0 + 0,158 672 742 719 789 465 6;
  • 57) 0,158 672 742 719 789 465 6 × 2 = 0 + 0,317 345 485 439 578 931 2;
  • 58) 0,317 345 485 439 578 931 2 × 2 = 0 + 0,634 690 970 879 157 862 4;
  • 59) 0,634 690 970 879 157 862 4 × 2 = 1 + 0,269 381 941 758 315 724 8;
  • 60) 0,269 381 941 758 315 724 8 × 2 = 0 + 0,538 763 883 516 631 449 6;
  • 61) 0,538 763 883 516 631 449 6 × 2 = 1 + 0,077 527 767 033 262 899 2;
  • 62) 0,077 527 767 033 262 899 2 × 2 = 0 + 0,155 055 534 066 525 798 4;
  • 63) 0,155 055 534 066 525 798 4 × 2 = 0 + 0,310 111 068 133 051 596 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 684 924 130 754 052 1(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0010 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 684 924 130 754 052 1(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0010 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 684 924 130 754 052 1(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0010 100(2) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 1000 1001 0000 0010 100(2) × 20 =

1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0001 0100(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0001 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0001 0100 =

0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0001 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0001 0100


Numărul zecimal 0,000 684 924 130 754 052 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0100 0100 1000 0001 0100

» Scriere 0,000 684 924 130 754 05 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100