0,000 700 457 304 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 700 457 304 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 700 457 304 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 700 457 304 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 700 457 304 2 × 2 = 0 + 0,001 400 914 608 4;
  • 2) 0,001 400 914 608 4 × 2 = 0 + 0,002 801 829 216 8;
  • 3) 0,002 801 829 216 8 × 2 = 0 + 0,005 603 658 433 6;
  • 4) 0,005 603 658 433 6 × 2 = 0 + 0,011 207 316 867 2;
  • 5) 0,011 207 316 867 2 × 2 = 0 + 0,022 414 633 734 4;
  • 6) 0,022 414 633 734 4 × 2 = 0 + 0,044 829 267 468 8;
  • 7) 0,044 829 267 468 8 × 2 = 0 + 0,089 658 534 937 6;
  • 8) 0,089 658 534 937 6 × 2 = 0 + 0,179 317 069 875 2;
  • 9) 0,179 317 069 875 2 × 2 = 0 + 0,358 634 139 750 4;
  • 10) 0,358 634 139 750 4 × 2 = 0 + 0,717 268 279 500 8;
  • 11) 0,717 268 279 500 8 × 2 = 1 + 0,434 536 559 001 6;
  • 12) 0,434 536 559 001 6 × 2 = 0 + 0,869 073 118 003 2;
  • 13) 0,869 073 118 003 2 × 2 = 1 + 0,738 146 236 006 4;
  • 14) 0,738 146 236 006 4 × 2 = 1 + 0,476 292 472 012 8;
  • 15) 0,476 292 472 012 8 × 2 = 0 + 0,952 584 944 025 6;
  • 16) 0,952 584 944 025 6 × 2 = 1 + 0,905 169 888 051 2;
  • 17) 0,905 169 888 051 2 × 2 = 1 + 0,810 339 776 102 4;
  • 18) 0,810 339 776 102 4 × 2 = 1 + 0,620 679 552 204 8;
  • 19) 0,620 679 552 204 8 × 2 = 1 + 0,241 359 104 409 6;
  • 20) 0,241 359 104 409 6 × 2 = 0 + 0,482 718 208 819 2;
  • 21) 0,482 718 208 819 2 × 2 = 0 + 0,965 436 417 638 4;
  • 22) 0,965 436 417 638 4 × 2 = 1 + 0,930 872 835 276 8;
  • 23) 0,930 872 835 276 8 × 2 = 1 + 0,861 745 670 553 6;
  • 24) 0,861 745 670 553 6 × 2 = 1 + 0,723 491 341 107 2;
  • 25) 0,723 491 341 107 2 × 2 = 1 + 0,446 982 682 214 4;
  • 26) 0,446 982 682 214 4 × 2 = 0 + 0,893 965 364 428 8;
  • 27) 0,893 965 364 428 8 × 2 = 1 + 0,787 930 728 857 6;
  • 28) 0,787 930 728 857 6 × 2 = 1 + 0,575 861 457 715 2;
  • 29) 0,575 861 457 715 2 × 2 = 1 + 0,151 722 915 430 4;
  • 30) 0,151 722 915 430 4 × 2 = 0 + 0,303 445 830 860 8;
  • 31) 0,303 445 830 860 8 × 2 = 0 + 0,606 891 661 721 6;
  • 32) 0,606 891 661 721 6 × 2 = 1 + 0,213 783 323 443 2;
  • 33) 0,213 783 323 443 2 × 2 = 0 + 0,427 566 646 886 4;
  • 34) 0,427 566 646 886 4 × 2 = 0 + 0,855 133 293 772 8;
  • 35) 0,855 133 293 772 8 × 2 = 1 + 0,710 266 587 545 6;
  • 36) 0,710 266 587 545 6 × 2 = 1 + 0,420 533 175 091 2;
  • 37) 0,420 533 175 091 2 × 2 = 0 + 0,841 066 350 182 4;
  • 38) 0,841 066 350 182 4 × 2 = 1 + 0,682 132 700 364 8;
  • 39) 0,682 132 700 364 8 × 2 = 1 + 0,364 265 400 729 6;
  • 40) 0,364 265 400 729 6 × 2 = 0 + 0,728 530 801 459 2;
  • 41) 0,728 530 801 459 2 × 2 = 1 + 0,457 061 602 918 4;
  • 42) 0,457 061 602 918 4 × 2 = 0 + 0,914 123 205 836 8;
  • 43) 0,914 123 205 836 8 × 2 = 1 + 0,828 246 411 673 6;
  • 44) 0,828 246 411 673 6 × 2 = 1 + 0,656 492 823 347 2;
  • 45) 0,656 492 823 347 2 × 2 = 1 + 0,312 985 646 694 4;
  • 46) 0,312 985 646 694 4 × 2 = 0 + 0,625 971 293 388 8;
  • 47) 0,625 971 293 388 8 × 2 = 1 + 0,251 942 586 777 6;
  • 48) 0,251 942 586 777 6 × 2 = 0 + 0,503 885 173 555 2;
  • 49) 0,503 885 173 555 2 × 2 = 1 + 0,007 770 347 110 4;
  • 50) 0,007 770 347 110 4 × 2 = 0 + 0,015 540 694 220 8;
  • 51) 0,015 540 694 220 8 × 2 = 0 + 0,031 081 388 441 6;
  • 52) 0,031 081 388 441 6 × 2 = 0 + 0,062 162 776 883 2;
  • 53) 0,062 162 776 883 2 × 2 = 0 + 0,124 325 553 766 4;
  • 54) 0,124 325 553 766 4 × 2 = 0 + 0,248 651 107 532 8;
  • 55) 0,248 651 107 532 8 × 2 = 0 + 0,497 302 215 065 6;
  • 56) 0,497 302 215 065 6 × 2 = 0 + 0,994 604 430 131 2;
  • 57) 0,994 604 430 131 2 × 2 = 1 + 0,989 208 860 262 4;
  • 58) 0,989 208 860 262 4 × 2 = 1 + 0,978 417 720 524 8;
  • 59) 0,978 417 720 524 8 × 2 = 1 + 0,956 835 441 049 6;
  • 60) 0,956 835 441 049 6 × 2 = 1 + 0,913 670 882 099 2;
  • 61) 0,913 670 882 099 2 × 2 = 1 + 0,827 341 764 198 4;
  • 62) 0,827 341 764 198 4 × 2 = 1 + 0,654 683 528 396 8;
  • 63) 0,654 683 528 396 8 × 2 = 1 + 0,309 367 056 793 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 700 457 304 2(10) =

0,0000 0000 0010 1101 1110 0111 1011 1001 0011 0110 1011 1010 1000 0000 1111 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 700 457 304 2(10) =

0,0000 0000 0010 1101 1110 0111 1011 1001 0011 0110 1011 1010 1000 0000 1111 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 700 457 304 2(10) =

0,0000 0000 0010 1101 1110 0111 1011 1001 0011 0110 1011 1010 1000 0000 1111 111(2) =

0,0000 0000 0010 1101 1110 0111 1011 1001 0011 0110 1011 1010 1000 0000 1111 111(2) × 20 =

1,0110 1111 0011 1101 1100 1001 1011 0101 1101 0100 0000 0111 1111(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 1111 0011 1101 1100 1001 1011 0101 1101 0100 0000 0111 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 1111 0011 1101 1100 1001 1011 0101 1101 0100 0000 0111 1111 =

0110 1111 0011 1101 1100 1001 1011 0101 1101 0100 0000 0111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0110 1111 0011 1101 1100 1001 1011 0101 1101 0100 0000 0111 1111


Numărul zecimal 0,000 700 457 304 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0110 1111 0011 1101 1100 1001 1011 0101 1101 0100 0000 0111 1111

» Scriere 0,000 700 457 301 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100