0,001 000 001 06 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,001 000 001 06(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,001 000 001 06(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 000 001 06.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 000 001 06 × 2 = 0 + 0,002 000 002 12;
  • 2) 0,002 000 002 12 × 2 = 0 + 0,004 000 004 24;
  • 3) 0,004 000 004 24 × 2 = 0 + 0,008 000 008 48;
  • 4) 0,008 000 008 48 × 2 = 0 + 0,016 000 016 96;
  • 5) 0,016 000 016 96 × 2 = 0 + 0,032 000 033 92;
  • 6) 0,032 000 033 92 × 2 = 0 + 0,064 000 067 84;
  • 7) 0,064 000 067 84 × 2 = 0 + 0,128 000 135 68;
  • 8) 0,128 000 135 68 × 2 = 0 + 0,256 000 271 36;
  • 9) 0,256 000 271 36 × 2 = 0 + 0,512 000 542 72;
  • 10) 0,512 000 542 72 × 2 = 1 + 0,024 001 085 44;
  • 11) 0,024 001 085 44 × 2 = 0 + 0,048 002 170 88;
  • 12) 0,048 002 170 88 × 2 = 0 + 0,096 004 341 76;
  • 13) 0,096 004 341 76 × 2 = 0 + 0,192 008 683 52;
  • 14) 0,192 008 683 52 × 2 = 0 + 0,384 017 367 04;
  • 15) 0,384 017 367 04 × 2 = 0 + 0,768 034 734 08;
  • 16) 0,768 034 734 08 × 2 = 1 + 0,536 069 468 16;
  • 17) 0,536 069 468 16 × 2 = 1 + 0,072 138 936 32;
  • 18) 0,072 138 936 32 × 2 = 0 + 0,144 277 872 64;
  • 19) 0,144 277 872 64 × 2 = 0 + 0,288 555 745 28;
  • 20) 0,288 555 745 28 × 2 = 0 + 0,577 111 490 56;
  • 21) 0,577 111 490 56 × 2 = 1 + 0,154 222 981 12;
  • 22) 0,154 222 981 12 × 2 = 0 + 0,308 445 962 24;
  • 23) 0,308 445 962 24 × 2 = 0 + 0,616 891 924 48;
  • 24) 0,616 891 924 48 × 2 = 1 + 0,233 783 848 96;
  • 25) 0,233 783 848 96 × 2 = 0 + 0,467 567 697 92;
  • 26) 0,467 567 697 92 × 2 = 0 + 0,935 135 395 84;
  • 27) 0,935 135 395 84 × 2 = 1 + 0,870 270 791 68;
  • 28) 0,870 270 791 68 × 2 = 1 + 0,740 541 583 36;
  • 29) 0,740 541 583 36 × 2 = 1 + 0,481 083 166 72;
  • 30) 0,481 083 166 72 × 2 = 0 + 0,962 166 333 44;
  • 31) 0,962 166 333 44 × 2 = 1 + 0,924 332 666 88;
  • 32) 0,924 332 666 88 × 2 = 1 + 0,848 665 333 76;
  • 33) 0,848 665 333 76 × 2 = 1 + 0,697 330 667 52;
  • 34) 0,697 330 667 52 × 2 = 1 + 0,394 661 335 04;
  • 35) 0,394 661 335 04 × 2 = 0 + 0,789 322 670 08;
  • 36) 0,789 322 670 08 × 2 = 1 + 0,578 645 340 16;
  • 37) 0,578 645 340 16 × 2 = 1 + 0,157 290 680 32;
  • 38) 0,157 290 680 32 × 2 = 0 + 0,314 581 360 64;
  • 39) 0,314 581 360 64 × 2 = 0 + 0,629 162 721 28;
  • 40) 0,629 162 721 28 × 2 = 1 + 0,258 325 442 56;
  • 41) 0,258 325 442 56 × 2 = 0 + 0,516 650 885 12;
  • 42) 0,516 650 885 12 × 2 = 1 + 0,033 301 770 24;
  • 43) 0,033 301 770 24 × 2 = 0 + 0,066 603 540 48;
  • 44) 0,066 603 540 48 × 2 = 0 + 0,133 207 080 96;
  • 45) 0,133 207 080 96 × 2 = 0 + 0,266 414 161 92;
  • 46) 0,266 414 161 92 × 2 = 0 + 0,532 828 323 84;
  • 47) 0,532 828 323 84 × 2 = 1 + 0,065 656 647 68;
  • 48) 0,065 656 647 68 × 2 = 0 + 0,131 313 295 36;
  • 49) 0,131 313 295 36 × 2 = 0 + 0,262 626 590 72;
  • 50) 0,262 626 590 72 × 2 = 0 + 0,525 253 181 44;
  • 51) 0,525 253 181 44 × 2 = 1 + 0,050 506 362 88;
  • 52) 0,050 506 362 88 × 2 = 0 + 0,101 012 725 76;
  • 53) 0,101 012 725 76 × 2 = 0 + 0,202 025 451 52;
  • 54) 0,202 025 451 52 × 2 = 0 + 0,404 050 903 04;
  • 55) 0,404 050 903 04 × 2 = 0 + 0,808 101 806 08;
  • 56) 0,808 101 806 08 × 2 = 1 + 0,616 203 612 16;
  • 57) 0,616 203 612 16 × 2 = 1 + 0,232 407 224 32;
  • 58) 0,232 407 224 32 × 2 = 0 + 0,464 814 448 64;
  • 59) 0,464 814 448 64 × 2 = 0 + 0,929 628 897 28;
  • 60) 0,929 628 897 28 × 2 = 1 + 0,859 257 794 56;
  • 61) 0,859 257 794 56 × 2 = 1 + 0,718 515 589 12;
  • 62) 0,718 515 589 12 × 2 = 1 + 0,437 031 178 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 000 001 06(10) =

0,0000 0000 0100 0001 1000 1001 0011 1011 1101 1001 0100 0010 0010 0001 1001 11(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 000 001 06(10) =

0,0000 0000 0100 0001 1000 1001 0011 1011 1101 1001 0100 0010 0010 0001 1001 11(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 000 001 06(10) =

0,0000 0000 0100 0001 1000 1001 0011 1011 1101 1001 0100 0010 0010 0001 1001 11(2) =

0,0000 0000 0100 0001 1000 1001 0011 1011 1101 1001 0100 0010 0010 0001 1001 11(2) × 20 =

1,0000 0110 0010 0100 1110 1111 0110 0101 0000 1000 1000 0110 0111(2) × 2-10


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0010 0100 1110 1111 0110 0101 0000 1000 1000 0110 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0010 0100 1110 1111 0110 0101 0000 1000 1000 0110 0111 =

0000 0110 0010 0100 1110 1111 0110 0101 0000 1000 1000 0110 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0010 0100 1110 1111 0110 0101 0000 1000 1000 0110 0111


Numărul zecimal 0,001 000 001 06 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0101 - 0000 0110 0010 0100 1110 1111 0110 0101 0000 1000 1000 0110 0111

Distribuie

» Scriere 0,001 000 001 33 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100