0,001 087 116 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,001 087 116(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,001 087 116(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 087 116.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 087 116 × 2 = 0 + 0,002 174 232;
  • 2) 0,002 174 232 × 2 = 0 + 0,004 348 464;
  • 3) 0,004 348 464 × 2 = 0 + 0,008 696 928;
  • 4) 0,008 696 928 × 2 = 0 + 0,017 393 856;
  • 5) 0,017 393 856 × 2 = 0 + 0,034 787 712;
  • 6) 0,034 787 712 × 2 = 0 + 0,069 575 424;
  • 7) 0,069 575 424 × 2 = 0 + 0,139 150 848;
  • 8) 0,139 150 848 × 2 = 0 + 0,278 301 696;
  • 9) 0,278 301 696 × 2 = 0 + 0,556 603 392;
  • 10) 0,556 603 392 × 2 = 1 + 0,113 206 784;
  • 11) 0,113 206 784 × 2 = 0 + 0,226 413 568;
  • 12) 0,226 413 568 × 2 = 0 + 0,452 827 136;
  • 13) 0,452 827 136 × 2 = 0 + 0,905 654 272;
  • 14) 0,905 654 272 × 2 = 1 + 0,811 308 544;
  • 15) 0,811 308 544 × 2 = 1 + 0,622 617 088;
  • 16) 0,622 617 088 × 2 = 1 + 0,245 234 176;
  • 17) 0,245 234 176 × 2 = 0 + 0,490 468 352;
  • 18) 0,490 468 352 × 2 = 0 + 0,980 936 704;
  • 19) 0,980 936 704 × 2 = 1 + 0,961 873 408;
  • 20) 0,961 873 408 × 2 = 1 + 0,923 746 816;
  • 21) 0,923 746 816 × 2 = 1 + 0,847 493 632;
  • 22) 0,847 493 632 × 2 = 1 + 0,694 987 264;
  • 23) 0,694 987 264 × 2 = 1 + 0,389 974 528;
  • 24) 0,389 974 528 × 2 = 0 + 0,779 949 056;
  • 25) 0,779 949 056 × 2 = 1 + 0,559 898 112;
  • 26) 0,559 898 112 × 2 = 1 + 0,119 796 224;
  • 27) 0,119 796 224 × 2 = 0 + 0,239 592 448;
  • 28) 0,239 592 448 × 2 = 0 + 0,479 184 896;
  • 29) 0,479 184 896 × 2 = 0 + 0,958 369 792;
  • 30) 0,958 369 792 × 2 = 1 + 0,916 739 584;
  • 31) 0,916 739 584 × 2 = 1 + 0,833 479 168;
  • 32) 0,833 479 168 × 2 = 1 + 0,666 958 336;
  • 33) 0,666 958 336 × 2 = 1 + 0,333 916 672;
  • 34) 0,333 916 672 × 2 = 0 + 0,667 833 344;
  • 35) 0,667 833 344 × 2 = 1 + 0,335 666 688;
  • 36) 0,335 666 688 × 2 = 0 + 0,671 333 376;
  • 37) 0,671 333 376 × 2 = 1 + 0,342 666 752;
  • 38) 0,342 666 752 × 2 = 0 + 0,685 333 504;
  • 39) 0,685 333 504 × 2 = 1 + 0,370 667 008;
  • 40) 0,370 667 008 × 2 = 0 + 0,741 334 016;
  • 41) 0,741 334 016 × 2 = 1 + 0,482 668 032;
  • 42) 0,482 668 032 × 2 = 0 + 0,965 336 064;
  • 43) 0,965 336 064 × 2 = 1 + 0,930 672 128;
  • 44) 0,930 672 128 × 2 = 1 + 0,861 344 256;
  • 45) 0,861 344 256 × 2 = 1 + 0,722 688 512;
  • 46) 0,722 688 512 × 2 = 1 + 0,445 377 024;
  • 47) 0,445 377 024 × 2 = 0 + 0,890 754 048;
  • 48) 0,890 754 048 × 2 = 1 + 0,781 508 096;
  • 49) 0,781 508 096 × 2 = 1 + 0,563 016 192;
  • 50) 0,563 016 192 × 2 = 1 + 0,126 032 384;
  • 51) 0,126 032 384 × 2 = 0 + 0,252 064 768;
  • 52) 0,252 064 768 × 2 = 0 + 0,504 129 536;
  • 53) 0,504 129 536 × 2 = 1 + 0,008 259 072;
  • 54) 0,008 259 072 × 2 = 0 + 0,016 518 144;
  • 55) 0,016 518 144 × 2 = 0 + 0,033 036 288;
  • 56) 0,033 036 288 × 2 = 0 + 0,066 072 576;
  • 57) 0,066 072 576 × 2 = 0 + 0,132 145 152;
  • 58) 0,132 145 152 × 2 = 0 + 0,264 290 304;
  • 59) 0,264 290 304 × 2 = 0 + 0,528 580 608;
  • 60) 0,528 580 608 × 2 = 1 + 0,057 161 216;
  • 61) 0,057 161 216 × 2 = 0 + 0,114 322 432;
  • 62) 0,114 322 432 × 2 = 0 + 0,228 644 864;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 087 116(10) =

0,0000 0000 0100 0111 0011 1110 1100 0111 1010 1010 1011 1101 1100 1000 0001 00(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 087 116(10) =

0,0000 0000 0100 0111 0011 1110 1100 0111 1010 1010 1011 1101 1100 1000 0001 00(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 087 116(10) =

0,0000 0000 0100 0111 0011 1110 1100 0111 1010 1010 1011 1101 1100 1000 0001 00(2) =

0,0000 0000 0100 0111 0011 1110 1100 0111 1010 1010 1011 1101 1100 1000 0001 00(2) × 20 =

1,0001 1100 1111 1011 0001 1110 1010 1010 1111 0111 0010 0000 0100(2) × 2-10


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1100 1111 1011 0001 1110 1010 1010 1111 0111 0010 0000 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1100 1111 1011 0001 1110 1010 1010 1111 0111 0010 0000 0100 =

0001 1100 1111 1011 0001 1110 1010 1010 1111 0111 0010 0000 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
0001 1100 1111 1011 0001 1110 1010 1010 1111 0111 0010 0000 0100


Numărul zecimal 0,001 087 116 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0101 - 0001 1100 1111 1011 0001 1110 1010 1010 1111 0111 0010 0000 0100

» Scriere 0,001 087 053 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 11, 2026 [Noiembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Noiembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100