0,001 111 125 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,001 111 125 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,001 111 125 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,001 111 125 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,001 111 125 2 × 2 = 0 + 0,002 222 250 4;
  • 2) 0,002 222 250 4 × 2 = 0 + 0,004 444 500 8;
  • 3) 0,004 444 500 8 × 2 = 0 + 0,008 889 001 6;
  • 4) 0,008 889 001 6 × 2 = 0 + 0,017 778 003 2;
  • 5) 0,017 778 003 2 × 2 = 0 + 0,035 556 006 4;
  • 6) 0,035 556 006 4 × 2 = 0 + 0,071 112 012 8;
  • 7) 0,071 112 012 8 × 2 = 0 + 0,142 224 025 6;
  • 8) 0,142 224 025 6 × 2 = 0 + 0,284 448 051 2;
  • 9) 0,284 448 051 2 × 2 = 0 + 0,568 896 102 4;
  • 10) 0,568 896 102 4 × 2 = 1 + 0,137 792 204 8;
  • 11) 0,137 792 204 8 × 2 = 0 + 0,275 584 409 6;
  • 12) 0,275 584 409 6 × 2 = 0 + 0,551 168 819 2;
  • 13) 0,551 168 819 2 × 2 = 1 + 0,102 337 638 4;
  • 14) 0,102 337 638 4 × 2 = 0 + 0,204 675 276 8;
  • 15) 0,204 675 276 8 × 2 = 0 + 0,409 350 553 6;
  • 16) 0,409 350 553 6 × 2 = 0 + 0,818 701 107 2;
  • 17) 0,818 701 107 2 × 2 = 1 + 0,637 402 214 4;
  • 18) 0,637 402 214 4 × 2 = 1 + 0,274 804 428 8;
  • 19) 0,274 804 428 8 × 2 = 0 + 0,549 608 857 6;
  • 20) 0,549 608 857 6 × 2 = 1 + 0,099 217 715 2;
  • 21) 0,099 217 715 2 × 2 = 0 + 0,198 435 430 4;
  • 22) 0,198 435 430 4 × 2 = 0 + 0,396 870 860 8;
  • 23) 0,396 870 860 8 × 2 = 0 + 0,793 741 721 6;
  • 24) 0,793 741 721 6 × 2 = 1 + 0,587 483 443 2;
  • 25) 0,587 483 443 2 × 2 = 1 + 0,174 966 886 4;
  • 26) 0,174 966 886 4 × 2 = 0 + 0,349 933 772 8;
  • 27) 0,349 933 772 8 × 2 = 0 + 0,699 867 545 6;
  • 28) 0,699 867 545 6 × 2 = 1 + 0,399 735 091 2;
  • 29) 0,399 735 091 2 × 2 = 0 + 0,799 470 182 4;
  • 30) 0,799 470 182 4 × 2 = 1 + 0,598 940 364 8;
  • 31) 0,598 940 364 8 × 2 = 1 + 0,197 880 729 6;
  • 32) 0,197 880 729 6 × 2 = 0 + 0,395 761 459 2;
  • 33) 0,395 761 459 2 × 2 = 0 + 0,791 522 918 4;
  • 34) 0,791 522 918 4 × 2 = 1 + 0,583 045 836 8;
  • 35) 0,583 045 836 8 × 2 = 1 + 0,166 091 673 6;
  • 36) 0,166 091 673 6 × 2 = 0 + 0,332 183 347 2;
  • 37) 0,332 183 347 2 × 2 = 0 + 0,664 366 694 4;
  • 38) 0,664 366 694 4 × 2 = 1 + 0,328 733 388 8;
  • 39) 0,328 733 388 8 × 2 = 0 + 0,657 466 777 6;
  • 40) 0,657 466 777 6 × 2 = 1 + 0,314 933 555 2;
  • 41) 0,314 933 555 2 × 2 = 0 + 0,629 867 110 4;
  • 42) 0,629 867 110 4 × 2 = 1 + 0,259 734 220 8;
  • 43) 0,259 734 220 8 × 2 = 0 + 0,519 468 441 6;
  • 44) 0,519 468 441 6 × 2 = 1 + 0,038 936 883 2;
  • 45) 0,038 936 883 2 × 2 = 0 + 0,077 873 766 4;
  • 46) 0,077 873 766 4 × 2 = 0 + 0,155 747 532 8;
  • 47) 0,155 747 532 8 × 2 = 0 + 0,311 495 065 6;
  • 48) 0,311 495 065 6 × 2 = 0 + 0,622 990 131 2;
  • 49) 0,622 990 131 2 × 2 = 1 + 0,245 980 262 4;
  • 50) 0,245 980 262 4 × 2 = 0 + 0,491 960 524 8;
  • 51) 0,491 960 524 8 × 2 = 0 + 0,983 921 049 6;
  • 52) 0,983 921 049 6 × 2 = 1 + 0,967 842 099 2;
  • 53) 0,967 842 099 2 × 2 = 1 + 0,935 684 198 4;
  • 54) 0,935 684 198 4 × 2 = 1 + 0,871 368 396 8;
  • 55) 0,871 368 396 8 × 2 = 1 + 0,742 736 793 6;
  • 56) 0,742 736 793 6 × 2 = 1 + 0,485 473 587 2;
  • 57) 0,485 473 587 2 × 2 = 0 + 0,970 947 174 4;
  • 58) 0,970 947 174 4 × 2 = 1 + 0,941 894 348 8;
  • 59) 0,941 894 348 8 × 2 = 1 + 0,883 788 697 6;
  • 60) 0,883 788 697 6 × 2 = 1 + 0,767 577 395 2;
  • 61) 0,767 577 395 2 × 2 = 1 + 0,535 154 790 4;
  • 62) 0,535 154 790 4 × 2 = 1 + 0,070 309 580 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,001 111 125 2(10) =

0,0000 0000 0100 1000 1101 0001 1001 0110 0110 0101 0101 0000 1001 1111 0111 11(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,001 111 125 2(10) =

0,0000 0000 0100 1000 1101 0001 1001 0110 0110 0101 0101 0000 1001 1111 0111 11(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,001 111 125 2(10) =

0,0000 0000 0100 1000 1101 0001 1001 0110 0110 0101 0101 0000 1001 1111 0111 11(2) =

0,0000 0000 0100 1000 1101 0001 1001 0110 0110 0101 0101 0000 1001 1111 0111 11(2) × 20 =

1,0010 0011 0100 0110 0101 1001 1001 0101 0100 0010 0111 1101 1111(2) × 2-10


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -10

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0011 0100 0110 0101 1001 1001 0101 0100 0010 0111 1101 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-10 + 2(11-1) - 1 =

(-10 + 1 023)(10) =

1 013(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 013 : 2 = 506 + 1;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1013(10) =

011 1111 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0011 0100 0110 0101 1001 1001 0101 0100 0010 0111 1101 1111 =

0010 0011 0100 0110 0101 1001 1001 0101 0100 0010 0111 1101 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0101

Mantisă (52 biți) =
0010 0011 0100 0110 0101 1001 1001 0101 0100 0010 0111 1101 1111


Numărul zecimal 0,001 111 125 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0101 - 0010 0011 0100 0110 0101 1001 1001 0101 0100 0010 0111 1101 1111

Distribuie

» Scriere 0,001 111 135 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100